直线与圆锥曲线的位置关系_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME—7）的会徽图案，会徽的主体图案是由

如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…A7A8=1，如果把图乙中的直

角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则a2011=(

A2008

B50

C

D

正确答案

D

解析

略

知识点

直线与抛物线的位置关系

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

集合，，则

A

B

C

D

正确答案

C

解析

略

知识点

直线与抛物线的位置关系

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知曲线上任意一点（其中）到定点的距离比它到轴的距离大1.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）若过点的直线与曲线相交于不同的两点，求的值；

（3）若曲线上不同的两点、满足求的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是

以原点为顶点，为焦点的抛物线………（2分）

∵

∴

∴　曲线方程是 ………（4分）

（2）当平行于轴时，其方程为，由解得、

此时 ………（6分）

当不平行于轴时，设其斜率为，

则由得

设则有， ………（8分）

∴

………（10分）

（3）设

∴ ………（12分）

∵

∴

∵，化简得

∴ ………（14分）

当且仅当时等号成立

∵

∴当的取值范围是………（16分）

知识点

向量在几何中的应用直线与抛物线的位置关系直接法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

设曲线在处的切线与抛物线在

的部分有两个交点，则实数的取值范围是，

正确答案

见解析

解析

，易知曲线在处的切线的斜率为，切点为，于是切线的方程为：，如13题解析图所示，切线应介于和平行的直线、之间，其中直线过点，直线和抛物线在的部分即弧相切，

易知直线的方程为：，

直线的方程为：，

故应有：，即，故应填或。

知识点

导数的几何意义直线与抛物线的位置关系

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

略

知识点

直线与抛物线的位置关系

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图6，已知点，是点A关于直线的对称点，P为轴上的动点。

（1）求的最小值；

（2）已知抛物线C的顶点为原点O，焦点在轴，且过点B，⊙M的圆心M在抛物线C上运动，且过点A'，D，E为⊙M与y轴的两个交点，试探究三角形A'DE的面积是否随圆心M的变化而变化？若没有变化，求出三角形A'DE的面积。

正确答案

见解析。

解析

（1）

设点关于x轴的对称点为A1，则A1的坐标为

于是

当且仅当A、P、B三点共线是取等号，

这时|PA|+|PB|取得最小值

（2）解法一：依题意知点

设抛物线C的方程为

由抛物线C过点B得

即抛物线C的方程为

过点M作y轴的垂线，垂足为G，则点G平分DE，

设圆心为M(m，n)，

则

即当M运动时，弦DE的长不随圆心M的变化而变化，

又∵点A'到y轴的距离不变，∴三角形A'DE的面积不随圆心M的变化而变化，

解法二：依题意知点

设抛物线C的方程为

由抛物线C过点B得

即抛物线C的方程为

设圆的圆心为 ∵圆M过点

∴圆的方程为

令得，

∵点在抛物线上，

设

则

，即

即当M运动时，弦DE的长不随圆心M的变化而变化，

又∵点A'到y轴的距离不变，∴三角形A'DE的面积不随圆心M的变化而变化；

解法三：依题意知点

设抛物线C的方程为

由抛物线C过点B得

即抛物线C的方程为

设圆的圆心为 ∵圆M过点

∴圆的方程为

令得：

∵点在抛物线上，

设

由求根公式得

即

∴当M运动时，弦长|DE|为定值，

又∵点A'到y轴的距离不变，∴三角形A'DE的面积不随圆心M的变化而变化，

解法四：依题意知点

设抛物线C的方程为

由抛物线C过点B得

即抛物线C的方程为

设圆的圆心为 ∵圆M过点

∴圆的方程为

令得，

设

则，

又∵点在抛物线上，

∴当M运动时，弦长|DE|为定值，又∵点A'到y轴的距离不变，

∴三角形A'DE的面积不随圆心M的变化而变化，

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的探索性问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线于点，当时，。

（1）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；

（2）若位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）设，则切线的方程为，

所以，，，所以，

所以为等腰三角形，且为中点，所以，，，得，抛物线方程为 ……………… 4分

（2）设，则处的切线方程为

由，

同理，……………………………………………………6分

所以面积……① ……8分

设的方程为，则

由，得代入①得：

，使面积最小，则

得到…………② 令，

②得，，

所以当时单调递减；当单调递增，

所以当时，取到最小值为，此时，，

所以，即。……………………………………………………12分

知识点

抛物线的定义及应用直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设点P是曲线C:x2=2py（p>0）上的动点，点P到点（0,1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为。

（1）求曲线C的方程；

（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）依题意知，解得.

所以曲线的方程为.

（2）由题意直线的方程为：，则点

联立方程组，消去得

得.

所以得直线的方程为.

代入曲线，得.

解得.

所以直线的斜率.

过点的切线的斜率.

由题意有.

解得.

故存在实数使命题成立，

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的探索性问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

“a=2”是“直线y=﹣ax+2与y=垂直”的（　　）

A充分不必要条件

B 必要不充分条件

C充要条件

D 既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

解：当a=2时直线y=﹣ax+2的斜率是﹣2，直线y=的斜率是2，

满足k1•k2=﹣1

∴a=2时直线y=﹣ax+2与y=垂直，

直线y=﹣ax+2与y=垂直，则﹣a•a=﹣1，解得a=±2，

“a=2”是“直线y=﹣ax+2与y=垂直”的充分不必要条件。

故选A。

知识点

直线与抛物线的位置关系

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线交于两点，求线段AB的长。

正确答案

见解析。

解析

直线l：代入抛物线方程并整理得

∴交点，，故

知识点

直线与抛物线的位置关系直线的参数方程

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