热门试卷

（1）当即时，轨迹是以、为焦点的椭圆

当时，轨迹是线段

当时，轨迹不存在

（2）以线段的中点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，

可得轨迹的方程为

①解法1：设表示点到线段的距离

，

要使的面积有最大值，只要有最大值

当点与椭圆的上顶点重合时，

的最大值为

解法2：在椭圆中，设，记

点在椭圆上，由椭圆的定义得：

在中，由余弦定理得：

配方，得：

从而

得

根据椭圆的对称性，当最大时，最大

当点与椭圆的上顶点重合时，

最大值为

②结论：当时，显然存在除、外的两点、关于直线对称

下证当与不垂直时，不存在除、外的两点、关于直线对称

证法1：假设存在这样的两个不同的点

设线段的中点为   直线

由于在上，故        ①

又在椭圆上，所以有

两式相减，得

将该式写为，

并将直线的斜率和线段的中点，表示代入该表达式中，

得     ②

①、②得，由（1）代入

得

即的中点为点，而这是不可能的.

此时不存在满足题设条件的点和.

证法2：假设存在这样的两个不同的点

，

则，故直线经过原点。

直线的斜率为，则假设不成立，

故此时椭圆上不存在两点（除了点、点外）关于直线对称

（1）解：的定义域为， 且 。             ………………2分

当时，，，

所以曲线在点处的切线方程为 ，

即 。                                              ………………4分

（2）解：方程的判别式为。

（ⅰ）当时，，所以在区间上单调递增，所以在区间

上的最小值是；最大值是。                    ………………6分

（ⅱ）当时，令，得 ，或，

和的情况如下：

故的单调增区间为，；单调减区间为。

………………8分

① 当时，，此时在区间上单调递增，所以在区间

上的最小值是；最大值是。                    ………………10分

② 当时，，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以在区间上的最小值是 。        ………………11分

因为 ，

所以 当时，在区间上的最大值是；当时，在区间上的最大值是。                          ………………12分

③ 当时，，此时在区间上单调递减，

所以在区间上的最小值是；最大值是。………………14分

综上，

当时，在区间上的最小值是，最大值是；

当时，在区间上的最小值是，最大值是；

当时，在区间上的最小值是，最大值是；

当时，在区间上的最小值是，最大值是。

由已知得圆的圆心为(-1,0),半径=1,圆的圆心为(1,0),半径=3.

设动圆的圆心为(,),半径为R.

(1)∵圆与圆外切且与圆内切,∴|PM|+|PN|===4,

由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为.

(2)对于曲线C上任意一点(,),由于|PM|-|PN|=≤2,∴R≤2,

当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.

∴当圆P的半径最长时,其方程为,

当的倾斜角为时,则与轴重合,可得|AB|=.

当的倾斜角不为时,由≠R知不平行轴,设与轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),∴设,由于圆M相切得,解得.

当=时,将代入并整理得,解得=,∴|AB|==.

当=-时,由图形的对称性可知|AB|=,

综上,|AB|=或|AB|=.

本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。

由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则,即

         ①

再设，由，即，解得

        ②

将①式代入②式，消去，得

         ③

又点B在抛物线上，所以，再将③式代入，得

整理得

因，两边同除以，得

故所求点P的轨迹方程为。

本题以二次曲线中的抛物线和直线相关知识为背景，考察学生的运算和推演能力，考查转化化归思想的运用。

（1）设直线l1:y=kx,l2:y=mx(k≠m,k≠0,m≠0)分别代入E1,E2的方程得

A1,A2;B1,B2,则直线A1B1与A2B2有两种情形：

一是当k=-m时，直线A1B1与A2B2的斜率都不存在，A1B1‖A2B2；

二是当k-m时，直线A1B1与A2B2的斜率，则A1B1‖A2B2；

综合可见，A1B1‖A2B2。

（2）设直线l:y=nx,则C1,C2，三点坐标代入面积公式可得，

另一法：由（1）知，两个三角形三边对应平行，它们相似。面积比为边的比的平方。可得。