直线与圆锥曲线的位置关系
共144题

直线与圆锥曲线的位置关系
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题型：填空题

填空题 · 4 分

12．设分别为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支相交于点，若，则（）

正确答案

解析

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知识点

双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系

题型：填空题

填空题 · 4 分

12．过点且方向向量为的直线与双曲线仅有一个交点，则实数的值为____________。

正确答案

或

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知识点

直线与双曲线的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

21．已知,，点满足，记点的轨迹为，过点作直线与轨迹交于两点，过作直线的垂线、，垂足分别为，记。

（1）求轨迹的方程；

（2）设点，求证：当取最小值时，的面积为．

正确答案

解：

（1）由|PF1|－|PF2|＝2＜|F1F2|知，点P的轨迹S是以F1、F2为焦点的双曲线右支．

由c＝2,2a＝2，∴b2＝3．故轨迹S的方程为x2－＝1 (x≥1)

（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)

与双曲线方程联立消y得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0．

∴ 解得k2＞3．

|AP|·|BQ|＝＝(2x1－1)(2x2－1)

＝[4x1x2－2(x1＋x2)＋1]＝x1x2－＋

＝－＋＝＋＝＋＞．

当斜率不存在时，|AP|·|BQ|＝，∴λ的最小值为．

此时，|PQ|＝6，|MF2|＝3，S△PMQ＝|MQ|·|PQ|＝9．

解析

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知识点

双曲线的定义及标准方程直线与双曲线的位置关系定义法求轨迹方程

题型：填空题

填空题 · 4 分

15．双曲线的左、右焦分别是F1，F2，过F1作倾斜角为的直线交双曲线右支交于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为 ___________。

正确答案

解析

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知识点

双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系

题型：单选题

单选题 · 5 分

4.过双曲线的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点,若2<|AB|<4,则这样的直线l共有(　　).

A1条

B2条

C3条

D4条

正确答案

解析

当|AB|=2时,只有一条,此时是x轴;

当|AB|=4时,有三条,其中两条交在两支上,另一条垂直于x轴.

那么当2<|AB|<4时,有两条.

知识点

双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系

题型：单选题

单选题 · 5 分

4.过双曲线的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点,若2<|AB|<4,则这样的直线l共有（ )

A1条

B2条

C3条

D4条

正确答案

解析

当|AB|=2时,只有一条,此时是x轴;

当|AB|=4时,有三条,其中两条交在两支上,另一条垂直于x轴.

那么当2<|AB|<4时,有两条.

知识点

双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系

题型：单选题

单选题 · 5 分

11．双曲线C：的左、右焦点分别为，，M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，，线段F1N交双曲线C于点Q，且，则双曲线C的离心率为

正确答案

解析

如下图所示，由可设点坐标为，由知为的中点，故点坐标为，把点坐标与点坐标代入双曲线方程得：

，整理得，故，选择D选项。

考查方向

本题主要考查了双曲线的方程与性质的综合应用,为高考必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系等知识点交汇命题。

解题思路

先分别求出两个集合中代表元素的取值范围，再求交集。

易错点

对于已知条件不知如何处理导致出错。

知识点

双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知直线：与双曲线：有交点，则实数的取值范围是

A（-，-)∪(，+）

B（-,]

C[-,]∪[,]

D[-，]

正确答案

解析

略

知识点

直线与双曲线的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足，则称a、 b、c是调和的；若满a + c = 2b足，则称a、b、c是等差的.若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”。若集合，集合。则

（1）“好集” P中的元素最大值为________；

（2）“好集” P的个数为________。

正确答案

（1）2012；（2）1006

解析

因为若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则且a + c = 2b，则，故满足条件的“好集”为形如的形式，则，解得，且，符合条件的ｂ的值可取1006个，故“好集” P的个数为1006个，且P中元素的最大值为2012。

知识点

直线与双曲线的位置关系

题型：简答题

简答题 · 14 分

22．已知函数，且在处的切线方程为

（1）求的解析式；

（2）证明：当时，恒有

（3）证明：若且则

正确答案

解析

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知识点

直线与双曲线的位置关系

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