直线、平面平行的判定与性质
共628题

直线、平面平行的判定与性质
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题型：简答题

简答题 · 14 分

16．在四棱锥P－ABCD中，∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点。

（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；

（2）求证：CE//平面PAB。

正确答案

解析

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知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

8.已知y=是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax ,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a=　　　　.

正确答案

解析

∵ f(x)是奇函数,且当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,

∴f(x)在(0,2)上的最大值为-1.

当x∈(0,2)时,

令f'(x)=0,得x=,

又,

∴.

当时,f'(x)>0,f(x)在上单调递增;

当时,

f'(x)<0,f(x)在上单调递减,

∴f(x)max=,

解得a=1.

知识点

直线与平面平行的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．在多面体中，，，平面，，为的中点．

（I）求证：平面；

（II）若，求二面角的正切值的大小．

正确答案

证明：（Ⅰ）取中点，连接．

因为是的中点，所以是的中位线，

则，所以，

则四边形是平行四边形，所以，故平面．

（Ⅱ）过点作垂直的延长线于点，

因为平面，所以，则平面，

过作，垂足为，连接，易证平面，

所以，则是二面角的平面角．

设，则，

在中，，，所以．

又因为，所以，则

解析

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知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 10 分

22. 如图，在直三棱柱中，,，，。

（1）设,异面直线与所成角的余弦值为，求的值；

（2）若点是的中点，求二面角的余弦值。

正确答案

解析

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知识点

直线与平面平行的判定与性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

14.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是_______.

正确答案

解析

由三视图可知此几何体是一个正方体上面放置一个底面半径为1的圆锥,其体积V=V正方体+V圆锥=23+×π×12×=8+.

知识点

直线与平面平行的判定与性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

9.如图，空间四边形ABCD的对棱AD与BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交AB、AC、CD、BD于点E、F、G、H，则截面EFGH的最大面积为____________.

正确答案

解析

∵ AD与BC成60°的角,

∴ ∠HEF=60°或120°.

设 =,

∴ ,BC=a,

∴ EF=ax,由,

得EH=a(1-x).

∴ S四边形EFGH=EF·EH·sin 60°=

当时,S最大值= ,

∴ 即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为.

知识点

直线与平面平行的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

21．已知展开式的各项依次记为。设

（1）若的系数依次成等差数列，求的值；

（2）求证：对任意，恒有

正确答案

（1）依题意，，

的系数依次为，，，

所以，解得；

（2）

设，

则

考虑到，将以上两式相加得：

,所以

又当时，是上的单调递增函数，

所以对任意，

解析

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知识点

直线与平面平行的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 8 分

25.已知交与点，，分别为的中点.求证：平面．

正确答案

略

解析

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目为容易题．

证明：在中，因为分别为的中点，所以

又因为，所以由平行公理和等量代换知，，

所以四边形是平行四边形

所以

又因为平面，所以平面

考查方向

本题考查了立体几何中的线面平行的问题．属于高考中的高频考点。

解题思路

本题考查线面平行，解题步骤如下：

找出平行四边形即可

易错点

容易与线面垂直混淆。

知识点

直线与平面平行的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 6 分

5.如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，是线段的中点，求证：；

正确答案

[object Object],[object Object],[object Object]

解析

利用线面平行的判定定理，需在平面中找到一条直线与平行，观察可得很像，继而利用平行四边形对边平行即可得到。

解题思路

（1）线面平行的证明方法：利用线面平行的判定定理转化成线线平行来证，难点是符合要求线的选取；转换成面面平行来证，首先要做的是找到符合面面平行判定定理的两对相交直线（2）二面的求法：转化成线线角，难点是这两条合适线的选取；（3）空间向量求角有明显的优势，不需要找角，但要建好坐标系，求好法向量和方向向量。

易错点

（1）找不到与平行的直线

（2）找不到平面和平面所成的角

（3）用空间向量解答时建系错误，如以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系

教师点评

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象与概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中，是由知识向能力转化的重要桥梁。本题既考查了空间想象能力，又运用了转化与化归思想，设计门槛低、入口宽，运用的思想方法有层次、有梯度，从而有效地区分不同层次考生的能力水平。这样的设计，体现了以知识为载体，以方法为依托，以考查能力为目的的考查要求，提高了试题的区分度，有利于高校选拔人才。

知识点

直线与平面平行的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

16．在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝2，AB＝4，BC＝2，∠CBA＝30°．

（1）求证：AC⊥PB；

（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长。

正确答案

见解析

解析

（1）∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，

又∠CBA＝30°，BC＝2，AB＝4，

∴AC＝

＝，

∴AC2＋BC2＝4＋12＝16＝AB2，∴∠ACB＝90°，

故AC⊥BC．又∵PC、BC是平面PBC内的两条相交直线，

故AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB．

（2） BM=2

考查方向

本题考查了立体几何中垂直关系的证明

解题思路

（1）由余弦定理求AC

（2）由勾股逆定理得∠ACB＝90°

（3）AC⊥BC，PC⊥AC，AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB

易错点

证明过程不到位。

知识点

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