直线、平面平行的判定与性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

19.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.

（I）证明MN∥平面PAB;

（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

正确答案

知识点

直线与平面平行的判定与性质

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题型：填空题

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填空题 · 10 分

请考生在22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在正方形ABCD，E,G分别在边DA,DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.

(I) 证明：B,C,E,F四点共圆；

(II)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.

（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（II）直线l的参数方程是（t为参数）,l与C交于A、B两点，∣AB∣=，求l的斜率。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)= ∣x-∣+∣x+∣，M为不等式f(x) ＜2的解集.

（I）求M；

（II）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。

正确答案

22（I）因为,所以

则有

所以由此可得

由此所以四点共圆.

（II）由四点共圆，知，连结，

由为斜边的中点，知,故

因此四边形的面积是面积的2倍，即

23（I）由可得的极坐标方程

（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为

由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得

于是

由得，

所以的斜率为或.

24（I）

当时，由得解得；

当时，；

当时，由得解得.

所以的解集.

（II）由（I）知，当时，，从而

，

因此

知识点

直线与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

17.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.

(1) 若AB=6 m,PO1=2 m，则仓库的容积是多少？

(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当为多少时，仓库的容积最大？

正确答案

(1)，则，
，，
，
故仓库的容积为；

⑵ 设，仓库的容积为

则，，，
，
，
，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，

因此，当时，取到最大值，
即时，仓库的容积最大．

知识点

直线与平面平行的判定与性质

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，.

23.求三棱锥P-ABC的体积；

24.证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

（Ⅰ）解：由题设＝1,

可得.

由面

可知是三棱锥的高,又

所以三棱锥的体积

考查方向

本题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理.

解题思路

先找三棱锥的高，然后再求体积

易错点

找不到关键的线段，或者找到线段求不出来线段的长

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）

解析

（Ⅱ）证：在平面内，过点B作，垂足为，过作交于，连接.

由面知，所以.由于，故面，又面，所以.

在直角中，，从而.由，得.

考查方向

本题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理.

解题思路

先求NC的长，然后利用比例的性质，求的值

易错点

辅助线的作法，解直角三角形时求解错误，计算能力弱

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图，在四棱锥中，平面平面，，，，

，，.

20.求证：平面；

21.求直线与平面所成角的正弦值；

22.在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析；

解析

（1）

考查方向

1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.

解题思路

（1）由面面垂直性质定理可知：根据线面垂直性质定理可知,再由线

易错点

1)线面垂直的的判定定理的条件，2)线面角平面角的构造

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

考查方向

1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.

解题思路

（1）由面面垂直性质定理可知：根据线面垂直性质定理可知,再由线

易错点

1)线面垂直的的判定定理的条件，2)线面角平面角的构造

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

存在，

解析

设是棱上一点，则存在使得.

因此点.

因为平面，所以平面当且仅当，

即，解得.[来源:学&科&网Z&X&X&K]

所以在棱上存在点使得平面，此时.

考查方向

1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.

解题思路

（1）由面面垂直性质定理可知：根据线面垂直性质定理可知,再由线

易错点

1)线面垂直的的判定定理的条件，2)线面角平面角的构造

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.

正确答案

2

知识点

直线与平面平行的判定与性质

1

题型：填空题

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填空题 · 12 分

（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.

（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

（II）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

正确答案

（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.

延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：

由已知，BC∥ED，且BC=ED.

所以四边形BCDE是平行四边形.

从而CM∥EB.

又EB平面PBE，CM平面PBE，

所以CM∥平面PBE.

（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）

（Ⅱ）方法一：

由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，

所以CD⊥平面PAD.

从而CD⊥PD.

所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以PDA=45°.

设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.

过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.

易知PA⊥平面ABCD，

从而PA⊥CE.

于是CE⊥平面PAH.

所以平面PCE⊥平面PAH.

过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.

所以APH是PA与平面PCE所成的角.

在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，

所以AH=.

在Rt△PAH中，PH== ，

所以sinAPH= =.

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线、平面垂直的综合应用线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

17. 如图，

在四棱锥P-ABCD中，平面PAD 平面ABCD，PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD= ,

（I）求证：PD平面PAB;

（II）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

（II I）在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD?若存在，求的值；若不存在，说明理由。

正确答案

(I) ∵ 面PADAB∴ AB面PAD.

∴ ABPA相交且AB,PA 面PAB

∴ PD (4分)

(II) 取AD中点O，连CO,PO.

∵ AP=DP. ∴ PO又面PAD

∴ PO

∵ AC=CD ∴ CO

故以O为原点，OC,OA,OP分别为X,Y,Z轴建系如图.

由题意知A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0)

D(0,-1,0),P(0,0,1)

设面PCD的法向量为则

∴ 所求=|cos<

（Ⅲ）若存在M使BM//面PCD，设则

∴

故+(-)

综上，存在M点，且=.

知识点

直线与平面平行的判定与性质

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

19.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.

（I）证明MN∥平面PAB;

（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

正确答案

见解析

解析

（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.

又，故学.科.网平行且等于，四边形为平行四边形，于是.

因为平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，且.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，学科.网由题意知，

，，，，

，，.

设为平面的法向量，则，即，可取，

于是.

知识点

直线与平面平行的判定与性质

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.

18.已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；

19.已知EF=FB=AC=AB=BC.求二面角的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（I）证明：设的中点为,连接,

在,因为是的中点，所以

又所以

在中，因为是的中点，所以，

又,所以平面平面，

因为平面，所以平面.

解析

（I）证明：设的中点为,连接,

在,因为是的中点，所以

又所以

在中，因为是的中点，所以，

又,所以平面平面，

因为平面，所以平面.

考查方向

本题考查空间平行判定与性质；二面角的计算；空间想象能力，推理论证能力，难度中等

解题思路

（1）首先取中点与已知直线构造成与要证平面平行的平面，先证明面面平行然后得到线面平行；（2）几何法：找出二面角的平面角，通过解三角形得出二面角；向量法：找出两个平面的法向量，结合两向量夹角公式求解。

易错点

在二面角中，设平面的法向量，平面的法向量,，则二面角的平面角为或π,∴.注意结合图形的实际情况判断二面角是锐角还是钝角.

若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都向二面角内或外时，则为二面角的平面角的补角,如图

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）

解析

连接,则平面，

又且是圆的直径，所以

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意得，，过点作于点，

所以

可得

故.

设是平面的一个法向量.

由

可得

可得平面的一个法向量

因为平面的一个法向量

所以，

所以二面角的余弦值为.

考查方向

本题考查空间平行判定与性质；二面角的计算；空间想象能力，推理论证能力，难度中等

解题思路

（1）首先取中点与已知直线构造成与要证平面平行的平面，先证明面面平行然后得到线面平行；（2）几何法：找出二面角的平面角，通过解三角形得出二面角；向量法：找出两个平面的法向量，结合两向量夹角公式求解。

易错点

在二面角中，设平面的法向量，平面的法向量,，则二面角的平面角为或π,∴.注意结合图形的实际情况判断二面角是锐角还是钝角.

若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都向二面角内或外时，则为二面角的平面角的补角,如图（2)；当两个法向量的方向一个向二面角内，另一个向外时，则为二面角的平面角,如图(1).

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