热门试卷

（I）延长，交直线于点，

∵为中点，

∴，

∵，

∴，

∵ 即 ，

∴四边形为平行四边形，，

∵，

∴，

∴，

∵面，

∴面，

∵，面，

∴面  故在面上可找到一点使得面.

（Ⅱ）由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，

所以CD⊥平面PAD.

从而CD⊥PD.

所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以PDA=45°.

设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.

过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.

易知PA⊥平面ABCD，

从而PA⊥CE.

于是CE⊥平面PAH.

所以平面PCE⊥平面PAH.

过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.

所以APH是PA与平面PCE所成的角.

在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，

所以AH=.

在Rt△PAH中，PH== ，

所以sinAPH= =.

（Ⅰ）证再证四点共圆；（Ⅱ）证明四边形的面积是面积的2倍.

试题解析：（I）因为,所以

则有

所以由此可得

由此所以四点共圆.

（II）由四点共圆，知，连结，

由为斜边的中点，知,故

因此四边形的面积是面积的2倍，即

（I）利用，可得C的极坐标方程；（II）先将直线的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得的斜率．

试题解析：（I）由可得的极坐标方程

（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为

由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得

于是

由得，

所以的斜率为或.

（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．

试题解析：（I）

当时，由得解得；

当时，；

当时，由得解得.

所以的解集.

（II）由（I）知，当时，，从而

，

因此

（Ⅰ）如图，取的中点，连接，，又G是BE的中点，，

又F是CD中点，，由四边形ABCD是矩形得，，所以．从而四边形是平行四边形，所以，,又，所以．

（Ⅱ）如图，在平面BEC内，过点B作,因为．

又因为AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ

以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0,0,2），B（0,0,0），E（2,0,0），F（2,2,1）．因为AB平面BEC，所以为平面BEC的法向量，

设为平面AEF的法向量.又

由取得.

从而

所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．

（Ⅰ）如图，取的中点，连接，，又G是BE的中点，，

又F是CD中点，，由四边形ABCD是矩形得，，所以．从而四边形是平行四边形，所以，,又，所以．

（Ⅱ）如图，在平面BEC内，过点B作,因为．

又因为AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ

以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0,0,2），B（0,0,0），E（2,0,0），F（2,2,1）．因为AB平面BEC，所以为平面BEC的法向量，

设为平面AEF的法向量.又

由取得.

从而

所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．

试题分析：证明线线垂直可寻求线面垂直，利用题目提供的面面垂直平面平面，借助性质定理证明平面EFCB，进而得出线线垂直.

(Ⅰ)由于平面平面，为等边三角形，为的中点，则，根据面面垂直性质定理，所以平面EFCB，又平面，则.

试题分析：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，平面AEF的法向量易得，只需求平面AEB的法向量，设平面AEB的法向量，利用线线垂直，数量积为零，列方程求出法向量，再根据二面角公式求出法向量的余弦值.

(Ⅱ)取CB的中点D，连接OD,以O为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，，，由于平面与轴垂直，则设平面的法向量为，设平面的法向量，，，，，则，二面角的余弦值，由二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.

试题分析：由于，要想平面，只需，利用向量的坐标，借助数量积为零，求出的值，根据实际问题予以取舍.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面EFCB，则，若平面，只需， ，又，

，解得或，由于，则.