热门试卷

证明：∵底面三边长，，，∴， 又直三棱柱中，，且，平面，∴平面． 而平面，∴．

证明：设与的交点为，连接， ∵是的中点，是的中点，

∴， ∵平面，平面，∴平面．

解：取的中点，连接，

∵是的中点，∴且．

又∵，，∴平面，

∴平面．

∵，

∴．

试题分析：本题属于立体几何的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按照解题步骤求解，（2）要注意空间直角坐标系的建立；

（Ⅰ）N为PD靠近D的三等分点．理由如下：

取PC的中点E，连接BE，

由于B，E分别为CM，PC的中点，所以BE∥PM，

又BE平面ABE，PM平面ABE，

所以直线PM∥平面ABE，

连接AE，交PD于N点，即为满足条件的点．

由于AE，PD分别是的边PC，AC上的中线，

所以AE和PD的交点N为的重心，

故N为PD靠近D的一个三等分点．

试题分析：本题属于立体几何的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按照解题步骤求解，（2）要注意空间直角坐标系的建立；

（Ⅱ）因为AC＝AM，AM⊥AC，所以∠AMC＝45°，在平面AMC内作My⊥MC于M，可知MC，My，MP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设AC＝AM＝PM＝2，则MC＝，

所以C(,0,0)，P(0,0,2)，A(,,0)，

即,，

因为PM⊥平面AMC，由（Ⅰ）知BE∥PM，

所以BE⊥平面AMC，则CM⊥BE．

又AC＝AM，B为CM的中点，则CM⊥AB，

所以CM⊥平面NAB，

所以可取平面NAB的一个法向量为，

设平面PAC的法向量，

由得取x＝1，则y＝1，z＝，

可得平面PAC的一个法向量，

由，得，

所以平面NAB和平面PAC所成锐二面角α的大小为．

试题分析：本题属于立体几何线面平行证明及二面角的余弦值的求解问题，属于中档题。

（Ⅰ）证明：取中点，连接、，

∴,

∵

∴

∵、平面，、平面

∴平面平面,

∵平面

∴平面.

试题分析：本题属于立体几何线面平行证明及二面角的余弦值的求解问题，属于中档题。

（Ⅱ）解：

平面平面 ，交线为

平面，且连接,分别取所在直线为轴建立空间直角坐标系，

如图所示.

则点，，,,,

设平面的法向量为

则

即

设平面的法向量为

因此所求二面角的余弦值为.

图，过点作于，连接    

平面平面，平面  平面平面于

平面又平面，四边形为平行四边形.平面，平面平面

连接.由题意,得.平面平面平面于平面.，平面，平面

平面同理，由可证，平面于D，平面，平面，平面平面到平面的距离等于的长.为四棱锥的高,

（1）∵底面ABCD是平行四边形，，，∴底面ABCD是边长为2的正方形，取AD的中点G，连接HE，HG，GC，根据题意得HG=EC=1，且HG∥EC∥PD，则四边形EHGC是平行四边形

所以HE∥GC，HE平面ABCD，GC平面ABCD，故HE∥平面ABCD

（2）法一：如图，取PB的中点M，连接AC，DB交于点F，连接ME，MF，作FK⊥PB于点K，容易得到∠AKF是二面角A-PB-D的平面角

，～，易得，

从而，所以

由于点M是PB的中点，所以MF是△PDB的中位线，MF∥PD，且，，且MF∥EC，故四边形MFCE是平行四边形，则ME∥AC，又AC⊥平面PDB，则ME⊥平面PDB，ME平面PBE，所以平面PBE⊥平面PDB，所以二面角A-PB-E的大小就是二面角A-PB-D的大小与直二面角D-PB-E的大小之和

故二面角的大小为

法二：由（1）知，DA，DC，DP两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示，设PA的中点为N，连接DN，则D（0,0,0），A(2,0,0)，B（2,2,0），E（0,2,1），P（0,0,2），N（1,0,1），易知DN⊥PA，DN⊥AB，所以DN⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为

设平面PBE的法向量为，因为，，由得，取，则，，所以为平面PBE的一个法向量。

所以

从图形可知，二面角A-PB-E是钝角，所以二面角A-PB-E的大小为