热门试卷

【方法一】

（1）证明：由俯视图可得，，

所以 。          ………………1分

又因为 平面，

所以 ，          ………………3分

所以 平面。                                          ………………4分

（2）证明：取上一点，使，连结，。        ………………5分

由左视图知 ，所以 ∥，。      ………………6分

在△中，易得，所以 ，又 ， 所以， 。

又因为 ∥，，所以 ∥，。

所以四边形为平行四边形，所以 ∥。                ………………8分

因为 平面，平面，

所以 直线∥平面。                                      ………………9分

（3）解：线段上存在点，使与所成角的余弦值为，证明如下：………10分

因为 平面，，建立如图所示的空间直角坐标系。

所以 。

设 ，其中。                                    ………………11分

所以，。

要使与所成角的余弦值为，则有 ，   ………………12分

所以 ，解得 或，均适合。  ………………13分

故点位于点处，此时；或中点处，此时，有与所成角的余弦值为。                                                        ………………14分

【方法二】

（1）证明：因为平面，，建立如图所示

的空间直角坐标系。

在△中，易得，所以 ，

因为 ， 所以， 。

由俯视图和左视图可得：

。

所以 ，。

因为 ，所以。         ………………2分

又因为 平面，所以 ，                      ………………3分

所以 平面。                                          ………………4分

（2）证明：设平面的法向量为，则有

因为 ，，

所以   取，得。                 ………………6分

因为 ，

所以 。                        ………………8分

因为 平面，

所以 直线∥平面。                                      ………………9分

（3）解：线段上存在点，使与所成角的余弦值为，证明如下：………10分

设 ，其中。                                    ………………11分

所以 ，。

要使与所成角的余弦值为，则有 ，  ………………12分

所以 ，解得或，均适合。   ………………13分

故点位于点处，此时；或中点处，此时，有与所成角的余弦值为。                                                        ………………14分

（1）

证明：延长交的延长线于点，连接.

∵∥，且，

∴为的中点.

∵为的中点，

∴∥.

∵平面，平面，

∴∥平面.

（2）解：∵平面，平面，

∴.

∵△是边长为的等边三角形，是的中点，

∴，.

∵平面，平面，，

∴平面.

∴为与平面所成的角.

∵，

在Rt△中，，

∴当最短时，的值最大，则最大.

∴当时，最大. 此时，.

∴.

∵∥，平面，

∴平面.

∵平面，平面，

∴，.

∴为平面 与平面所成二面角（锐角）.

在Rt△中，，.

∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.

解法二：

（1）证明：取的中点，连接、.

∵为的中点，

∴∥，且.

∵∥，且，

∴∥，.

∴四边形是平行四边形。

∴∥.

∵平面，平面，

∴∥平面.

（2）解：∵平面，平面，

∴.

∵△是边长为的等边三角形，是的中点，

∴，.

∵平面，平面，，

∴平面.

∴为与平面所成的角.

∵，

在Rt△中，，

∴当最短时，的值最大，则最大.

∴当时，最大. 此时，.

∴.

在Rt△中，.

∵Rt△～Rt△，

∴，即.

∴.

以为原点，与垂直的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，

建立空间直角坐标系.

则，，，.

∴，，.

设平面的法向量为，

由，，

得

令，则.

∴平面的一个法向量为.∵平面，  ∴是平面的一个法向量。

∴.

∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.

（1）当.

∴的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为：，.

（2）切线的斜率为，

∴ 切线方程为

所求封闭图形面积为

.

（3），

令.

列表如下：

由表可知，.

设，

∴上是增函数，

∴ ，即，

∴不存在实数a，使极大值为3.

（1）证明：连接，由条件可得∥.

因为平面，平面，

所以∥平面.----------------------4分

（2）证明：由（1）知，.

建立如图所示的空间直角坐标系.

设四棱锥的底面边长为2，

则，，，

，，

.

所以，.

设（），由已知可求得.

所以，.

设平面法向量为，

则 即

令，得.

易知是平面的法向量.

因为，

所以，所以平面平面.---------------------9分

（3）解：设（），由（2）可知，

平面法向量为.

因为，

所以是平面的一个法向量.

由已知二面角的大小为.

所以，

所以，解得.[

所以点是的中点.----------------------14分

（1）由得图像右端点的坐标为，由得图像左端点的坐标为，故两端点重合。                    （2分）

并且对，这些点在直线上。                              （4分）

（2）由题设及（1）的结论，两个函数图像有且仅有一个公共点，即方程在上有两个相等的实数根。

整理方程得，

由，解得，             （8分）

此时方程的两个实数根，相等，由，

得，

因为，所以只能（，），（10分）

（3）当时，，可得，

且单调递减。                                                      （14分）

① 当时，对于，总有，亦即直线与函数的图像总有两个不同的公共点（直线在直线与直线之间）。

对于函数来说，因为，所以方程有两个解：，。

此时方程（，）的实数解的个数为。

（16分）

② 当时，因为，所以方程有两个解，此时方程（）的实数解的个数为。                                   （17分）

综上，当，时，方程（，）的实数解的个数为。                                                         （18分）

（1）证明：取中点，连结，。

因为，所以，

因为四边形为直角梯形，，，

所以四边形为正方形，所以，

所以平面，

所以，

（2）解：因为平面平面，且 ，

所以平面，所以，

由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，所以

，

所以 ，平面的一个法向量为，

设直线与平面所成的角为，

所以，

即直线与平面所成角的正弦值为，

（3）解：存在点，且时，有平面，

证明如下：由，，所以。

设平面的法向量为，则有

所以 取，得，

因为 ，且平面，所以平面，

即点满足时，有平面。

解析：（1）证明：连结,交与,连结，

中，分别为两腰的中点       ∴

因为面,又面，所以平面  

（2）解法一：设平面与所成锐二面角的大小为，以为空间坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则

设平面的单位法向量为，则可设 

设面的法向量，应有

即：

解得：，所以 

∴ 

所以平面与所成锐二面角为60°

解法二：

延长CB、DA相交于G，连接PG，过点D作DH⊥PG ，垂足为H，连结HC 

∵矩形PDCE中PD⊥DC，而AD⊥DC，PD∩AD=D

∴CD⊥平面PAD  ∴CD⊥PG，又CD∩DH=D

∴PG⊥平面CDH，从而PG⊥HC 

∴∠DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角 

在△中，， 可以计算 

在△中， 

所以平面与所成锐二面角为60°