热门试卷

解析：

（1）证明：连接，设与相交于点，连接，

因为四边形为平行四边形，所以点为的中点，

又因为为的中点，所以为的中位线，

所以∥，                                              ………3分

又因为平面，平面，

所以∥平面.                                          …………6分

（2）因为平面，∥，所以平面，

又因为，所以两两垂直，

故可以建立空间直角坐标系（如图所示），                   ………8分

则，，，，，

所以，，，

因为平面,故平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，则 即，

令，则，可取，                   …………10分

从而，

故所求二面角的余弦值为.                        …………12分

当0<m<l时，；

当m=l时，； 

当m>l时，

以A为原点建立空间直角坐标系，则

，，，。

由题意，可设。

（1）∵，，

。

∴ AM⊥PN，……………………… 6分

（2）设是平面PMN的一个法向量，，

则

即得

令x=3，得y=1+2，z=2-2，

∴。

若存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º，

则|cos<>|=。

化简得。

∵△＝100-4413＝-108<0，方程无解。

∴不存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º，……………12分

解析： （1）当时，平面

下面证明：若平面，连交于

由可得，，

      2分

平面，平面，平面平面，

      4分

   即：        6分

（2）由PA=PD=AD=2， Q为AD的中点，则PQ⊥AD。    7分

又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，四边形ABCD为菱形，

∵AD=AB，  ∠BAD=60°△ABD为正三角形，

Q为AD中点， ∴AD⊥BQ       8分

以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为

轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为

A（1，0，0），B（），Q（0，0，0），P（0，0，）

设平面MQB的法向量为，可得，

取z=1，解得     10分

取平面ABCD的法向量设所求二面角为，

则    故二面角的大小为60°       12分

解析：（1）根据题设有

又     根据椭圆的定义可知

的轨迹为以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点中心在原点半长轴为2，半焦距为1，半短轴为的椭圆，其方程为 （4分）

（2）（i）设，由

由  两式相减设  （6分）

(ii)设AB的直线方程为 ，代入椭圆C的方程，整理得

是P到直线AB的距离

 （8分）

求最值方法一：

  当且仅当 （11分）

求最值方法二：导数法  此处略。

根据韦达定理得

故O是的重心。 （13分）

（1）∵O、D分别为AC、PC中点，

，
（2）

，

又，

PA与平面PBC所成的角的大小等于，

（3）由（2）知，，∴F是O在平面PBC内的射影

∵D是PC的中点，

若点F是的重心，则B，F，D三点共线，

∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，

，即

反之，当时，三棱锥为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为的重心

解法1：

（1）证明：取中点为,连结.

∵∥,∥，∴∥，且确定平面.

∵平面，平面，

平面平面，

∴， 

∴四边形为平行四边形.

∵，∴为的中点.

连结，可知.为中点，∴，∵平面，

∴∵，∴平面.   

∴平面，∵平面，

∴平面平面.               

（2）

如图,以为坐标原点建立空间直角坐标系,设棱长为.

,.

,       

设平面的法向量为,

由即

取，得平面的一个法向量.    

同理设平面的法向量为,

由得平面的一个法向量为 ，      

设所求二面角为，则.   

解法2：

（1）设线段的中点为，连接. 以所在的直线为轴，所在的直线为轴，

过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系.

设棱柱的棱长为, 则由已知可得：,,,,

,,,，

∴,

设平面的法向量为，则有

 即

取,则，∴

连接, 则由已知条件可知. ∴平面的法向量为. ,

∴， ∴平面平面.       

（2）设平面的法向量为. ∵,,

∴ 即

取，则，∴

设二面角的大小为,则由图形可知为锐角,且

.

∴二面角的余弦值为. 

（1）在图甲中，由△ABC是等边三角形，E，D分别为AB，AC的三等分点，点G为BC边的中点，易知DE⊥AF，DE⊥GF，DE//BC。……………… 2分

在图乙中，因为DE⊥AF，DE⊥GF，AFFG=F，所以DE⊥平面AFG。

又DE//BC，所以BC⊥平面AFG。……………… 4分

（2） 因为平面AED⊥平面BCDE，平面AED平面BCDE=DE，DE⊥AF，DE⊥GF，

所以FA，FD，FG两两垂直。

以点F为坐标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，0)。…………………… 6分

设平面ABE的一个法向量为。

则，即，

取，则，，则。……………… 8分

显然为平面ADE的一个法向量，

所以。………………10分

二面角为钝角，所以二面角的余弦值为。………12分