- 相似三角形的性质
- 共31题
设函数f(x)=emx+x2-mx.
25.证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;
26.若对于任意x1, x2∈[-1,1],都有|f(x1)- f(x2)|≤e-1,求m的取值范围
正确答案
正确答案
选修4-1:几何证明选讲
如图,是的直径,弦的延长线相交于点,垂直的延长线于点.
28.求证:;
29.求证:.
正确答案
详见解题过程;
解析
试题分析:本题属于平面几何的基本问题,由圆的性质直接导出角关系。∵为圆的直径,∴.又,则四点共圆,∴.
考查方向
解题思路
本题考查圆的性质及相似、全等,解题步骤如下:由圆的性质得到角的等量关系。
易错点
对图形的分析不到位和定理不熟练导致出错。
正确答案
详见解题过程
解析
试题分析:本题属于平面几何的基本问题,由相似关系去证所证。连接,由⑴知.又,∴,即,∴.
考查方向
解题思路
本题考查圆的性质及相似、全等,解题步骤如下:由相似关系去证所证。
易错点
对图形的分析不到位和定理不熟练导致出错。
选修4—1:几何证明选讲
如图,为⊙的直径,直线与⊙相切于,垂直于,垂直于,垂直于,连接,.
27.;
28..
正确答案
(1)略;
解析
【证明】(Ⅰ)由直线与⊙相切,得∠CEB=∠EAB.
由AB为⊙O的直径,得AE⊥EB,从而∠EAB+∠EBF=
又EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=,从而∠FEB=∠EAB. 故∠FEB=∠CEB.
考查方向
解题思路
先根据切割线定理求出,然后求出,后即可得到答案;
易错点
找不到角之间的等量关系导致无法证明;
正确答案
(2)略
解析
(Ⅱ)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE是公共边,得Rt△BCE≌Rt△BFE,
所以BC=BF.
类似可证,Rt△ADE≌Rt△AFE,得AD=AF.
又在Rt△AEB中,EF⊥AB,故EF2=AF·BF,所以EF2=AD·BC.
考查方向
解题思路
先证明,后根据勾股定理即可求得答案。
易错点
找不到中间联系的量AF·BF导致证明无法进行下去。
如图,为四边形外接圆的切线,的延长线交于点,与相交于点,.
27.求证:;
28.若,求的长.
正确答案
见解析
解析
为切线,
考查方向
解题思路
利用同弧等角定理,和三角形全等的条件,即可得到相关的结论。
易错点
不容易找到辅助线。
正确答案
的长.
解析
已知,由切割线定理,得:,得,又知,所以,所以,所以
考查方向
解题思路
利用同弧等角定理,和三角形全等的条件,即可得到相关的结论。
易错点
不容易找到辅助线。
选修4—1;几何证明选讲
如图所示,圆的两弦和交于点,∥,交的延长线于点,切圆于点.
29.求证:△∽△;
30.如果,求的长.
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
利用辅助线,做出相似三角形,根据相似求出相关线段的长
易错点
辅助线,三角形相似条件找不准
正确答案
见解析
解析
∽又因为为切线,则
所以,.
考查方向
解题思路
利用辅助线,做出相似三角形,根据相似求出相关线段的长
易错点
辅助线,三角形相似条件找不准
选修4—1;几何证明选讲.
如图,AB是⊙O的直径,C、F是⊙O上的两点,OC⊥AB,过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D.连接CF交AB于点E。
30.求证:DE2=DB•DA;
31.若DB=2,DF=4,试求CE的长.
正确答案
见解析
解析
证明:连接OF.因为DF切⊙O于F,所以∠OFD=90°.所以∠OFC+∠CFD=90°.因为OC=OF,所以∠OCF=∠OFC.因为CO⊥AB于O,所以∠OCF+∠CEO=90°.
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以DF=DE.因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB•DA.
所以DE2=DB•DA.
考查方向
解题思路
利用辅助线,做出相似三角形,根据相似求出相关线段的长
易错点
辅助线,三角形相似条件找不准
正确答案
见解析
解析
DF2=DB•DA,DB=2,DF=4.DA= 8, 从而AB=6, 则.又由30题可知,DE=DF=4, BE=2,OE=1.从而 在中,.
考查方向
解题思路
利用辅助线,做出相似三角形,根据相似求出相关线段的长
易错点
辅助线,三角形相似条件找不准
14.如图,圆O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA=6,AE=9,PC=3,CE:ED=2:1,则BE=_______.
正确答案
2
解析
首先由切割线定理得,因此,,又,因此,再相交弦定理有,所以.
考查方向
解题思路
平面几何问题主要涉及三角形全等,三角形相似,四点共圆,圆中的有关比例线段(相关定理)等知识,本题中有圆的切线,圆的割线,圆的相交弦,由圆的切割线定理和相交弦定理就可以得到题中有关线段的关系.
易错点
平面几何有关性质的综合应用
知识点
如图,正方形ABCD边长为2,以A为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F,连结BF并延长交CD于点E.
27.求证:E为CD的中点;
28.求EF·FB的值.
正确答案
见解析
解析
解:(Ⅰ)由题可知是以为圆心,为半径作圆,而为正方形,
∴为圆的切线
依据切割线定理得
∵圆以 为直径,∴是圆的切线,
同样依据切割线定理得
故
∴为的中点.
考查方向
解题思路
本题解题思路
1)借助圆的切割定理得出,进而证明第一问
2)借助等面积求解FC,使用射影定理得到第二问
易错点
本题易错cd是两圆的切线,
正确答案
见解析
解析
解:
(Ⅱ)连结,
∵为圆的直径,
∴ 由
得
又在中,由射影定理得
考查方向
解题思路
本题解题思路
1)借助圆的切割定理得出,进而证明第一问
2)借助等面积求解FC,使用射影定理得到第二问
易错点
本题易错cd是两圆的切线,
如图,在△ABC中,∠C=90°,以AB上一点O为圆心,OA长为半径的圆与BC相切于点D,分别交AC、AB于点E、F。
(1)若AC=6,AB=10,求⊙O的半径;
(2)连接OE、ED、DF、EF,若四边形BDEF是平行四边形,试判断四边形OFDE的形状,并说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)连接OD. 设⊙O的半径为r.
∵BC切⊙O于点D,∴OD⊥BC.
∵∠C=90°,∴OD∥AC,∴△OBD∽△ABC.
∴,即,解得,
∴⊙O的半径为
(2)结论:四边形OFDE是菱形.
证明:∵四边形BDEF是平行四边形,∴∠DEF=∠B.
∵∠ODB=90°,∴∠DOB+∠B=90°,∴∠DOB=60°.
∵DE∥AB,∴∠ODE=60°。∵OD=OE,∴△ODE是等边三角形.
∴OD=DE.∵OD=OF,∴DE=OF.∴四边形OFDE是平行四边形.
∵OE=OF,∴平行四边形OFDE是菱形.
知识点
13.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是__________.
正确答案
[10,30]
解析
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知识点
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