命题及其关系、充分条件与必要条件
共1031题

命题及其关系、充分条件与必要条件
共1031题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知 (其中，是虚数单位)的模不大于，和，若利用构造一个命题“若，则”，试判断该命题及其逆命题的真假，并说明理由。

正确答案

见解析

解析

由得，（4分）

由得，（8分）

由，即，但，∴命题“若则”是假命题（10分）

而其逆命题“若则”是真命题。（12分）

知识点

四种命题及真假判断

题型：单选题

单选题 · 5 分

连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：

①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1。

其中真命题的个数为

正确答案

解析

设球的球心O到直线AB、CD的距离分别为，利用勾股定理可求出，，所以CD可以经过M，而AB不会经过N，所以①正确，②不正确；又，，所以③④正确，故选C。

知识点

四种命题及真假判断

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知为互不相等的三个正实数，函数可能满足如下性质：

①为奇函数；②为奇函数；③为偶函数；④为偶函数；⑤，类比函数的对称中心、对称轴与周期的关系，某同学得到了如下结论：

(i)若满足①②，则的一个周期为；(ii)若满足①③；则的一个周期为；(iii)若满足③④，则的一个周期为；(iv)若满足②⑤；则的一个周期为。

其中正确结论的个数为( )。

第Ⅱ卷

正确答案

解析

由的图象知，两相邻对称中心的距离为两相邻对称轴的距离为，对称中心与距其最近的对称轴的距离为，若满足①②，则的两个相邻对称中心分别为，，从而有，即；若满足①③，则的对称轴为，与对称轴相邻的对称中心为，有，即；若满足③④，则的两个相邻的对称轴为和，从而有，即；若满足②⑤，则的对称中心为，与其相邻的对称轴为，从而有，即，故只有(iii)(iv)错误。

知识点

四种命题及真假判断

题型：单选题

单选题 · 5 分

下列命题正确的是

A存在x∈R，使得的否定是：不存在x∈R，使得；

B存在x∈R，使得的否定是：任意x∈R，均有

C若x=3，则x2-2x-3=0的否命题是：若x≠3，则x2-2x-3≠0.

D若为假命题，则命题p与q必一真一假

正确答案

解析

命题的否定只否定条件不否定结论；而否命题是否定原命题的条件，同时又否定原命题的结论的命题，故正确选项为C。

知识点

四种命题及真假判断

题型：简答题

简答题 · 20 分

设点F是抛物线‍的焦点，是抛物线L上的n个不同的点‍.

（1）当p=2时，试写出抛物线L上的三个定点的坐标，从而使得

；

（2）当时，若，求证：；

（3）当时，某同学对（2）的逆命题，即：“若，则.”开展了研究并发现其为假命题.

请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：

① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）；

② 对任意给定的大于3的正整数n，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）

正确答案

见解析

解析

（1）解：抛物线焦点，准线方程为：.由抛物线定义得

，，，

∴ .

（2）证明：由，，，…，，

，

即.

则

（3）经推广的命题：

“当时，若，则.”

其逆命题为：

“当时，若，则”。

该逆命题为假命题。

不妨构造特殊化的一个反例：

设，，抛物线，焦点.由题意知：

；

根据抛物线的定义得：

；

不妨取四点坐标分别为、、、，但

，

所以逆命题是假命题。

知识点

四种命题及真假判断

题型：单选题

单选题 · 5 分

“”是“”成立的

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

解析

由得，；由得，因此“”是“”成立的必要不充分条件，所以选B。

知识点

四种命题及真假判断

题型：单选题

单选题 · 5 分

下列说法正确的是

A函数在其定义域上是减函数

B两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件

C命题“，”的否定是“，”

D给定命题，若是真命题，则是假命题

正确答案

解析

由减函数的定义易知在其定义域上不是减函数，A错；两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分条件，B错；命题“，”的否定是“，”，C错；由是真命题可知和都是真命题，故一定是假命题，D正确，选D。

知识点

四种命题及真假判断

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面。

①若m⊂α，m⊥β，则α⊥β，

②若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m⊥n；

③若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n；

④若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n。

上述命题中为真命题的是　①④　（填写所有真命题的序号）。

正确答案

①④

解析

选项①正确，由线面垂直的判定定理可知：若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；

选项②错误，若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m与n可能平行可能相交；

选项③错误，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m与n可能平行或异面；

选项④正确，由线面平行的性质定理可知：若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n。

知识点

四种命题及真假判断

题型：单选题

单选题 · 5 分

下列命题错误的是（）

A命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则”

B若命题：，则：

C中，是的充要条件

D若为假命题，则、均为假命题

正确答案

解析

由原命题与逆否命题的关系可知A正确；由特称命题的否定可知B正确；由正弦定理和三角形边角关系可知C正确；若为假命题，则、有可能一真一假，未必均为假命题，由此可知D错误，故选D。

知识点

四种命题及真假判断

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知命题：使成立。则为（）

A使成立

B均成立

C使成立

D均成立

正确答案

解析

原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即。

知识点

四种命题及真假判断

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