- 平面与平面平行的判定与性质
- 共195题
对于数列{an},从第二项起,每一项与它前一项的差依次组成等比数列,称该等比数列为数列{an}的“差等比数列”,记为数列{bn}. 设数列{bn}的首项b1=2,公比为q(q为常数)。
(1)若q=2,写出一个数列{an}的前4项;
(2)(ⅰ)判断数列{an}是否为等差数列,并说明你的理由;
(ⅱ)a1与q满足什么条件,数列{an}是等比数列,并证明你的结论;
(3)若a1=1,1<q<2,数列{an+cn}是公差为q的等差数列(n∈N*),且c1=q,求使得cn<0成立的n的取值范围.
正确答案
见解析
解析
(1)因为数列是等比数列,且
,
,
所以 ,
,
所以,
,
,
. (写出满足条件的一组即可)
………………………… 2分
(2)(ⅰ)因为,
所以,
,
,…,
.
所以.
①若,所以
,
所以数列是等差数列. ………………………… 3分
②若,所以
所以.
因为, 所以
不是常数.
所以数列不是等差数列. ………………………… 5分
(ⅱ)因为数列是等比数列,首项
,公比为
,
所以,
. 所以
,
.
因为数列是等比数列,
所以,即
所以
.
所以当时,数列
是等比数列. ………………………… 7分
(3)因为是公差为
的等差数列,
所以 又
,
所以
所以,…,
,
所以
………………………… 9分
所以,
,
,
,…
猜想:当时,
.
用数学归纳法证明:
①当时,
显然成立,
②假设当时,
,
那么当时,
因为,
,
所以
所以
所以当时,
成立。
由①、②所述,当时,恒有
. ………………………… 14分
知识点
如图,弧是半径为
的半圆,
为直径,点
为弧
的中点,点
和点
为线段
的三等分点,线段
与弧
交于点
,且
,平面
外一点
满足
平面
,
。
(1)证明:;
(2)将(及其内部)绕
所在直线旋转一周形成一几何体,求该几何体的体积。
正确答案
见解析
解析
(1)证明: 为直径,点
为弧
的中点,
,即
。………2分
又平面
,
平面
,
,
由
平面
,……4分
又平面
,
。…………………………6分
⑵ 如图所示,建立空间直角坐标系,则相关点的坐标为,
,
,
,………………………7分
设 则由
,得
,…………………………9分
则,由题设知,所得几何体为圆锥,其底面积为
,高为
。……………………11分
所以该圆锥的体积为。……………………12分
知识点
如图,在四棱锥中,底面
是矩形,
平面
,
与平面
所成的角依次是
和
,
,
依次是
的中点。
(1)求直线与平面
所成的角(结果用反三角函数值表示);
(2)求三棱锥的体积。
正确答案
见解析
解析
(1)【解法一】分别以为
轴、
轴、
轴建立
空间直角坐标系,
依题意,,
则各点坐标分别是,
,
,
,
,
∴,
,
,
又∵平面
,
∴平面的法向量为
, (2分)
设直线与平面
所成的角为
,则
, (6分)
∴直线与平面
所成的角为
。 (7分)
【解法二】∵平面
,
∴,又
,
∴平面
,
取中点
,
中点
,联结
,
则且
,
∴是平行四边形,
∴即为直线
与平面
所成的角,(2分)
在中,
,
在中,
, (6分)
∴直线与平面
所成的角为
。 (7分)
(2)【解法一】由(1)解法一的建系得,,
,
设平面的法向量为
,点
到平面
的距离为
,
由,
得且
,
取得
,
∴, (2分)
又,
∴, (4分)
∴。 (7分)
【解法二】易证即为三棱锥
底面上的高,
且, (2分)
底面边
上的高等于
,且
,
∴ (4分)
。 (7分)
【解法三】依题意,平面
,
∴ (4分)
。 (7分)
知识点
如图,在直三棱柱中,
.
(1)若,求证:
平面
;
(2)若,
是棱
上的一动点。试确定点
的位置,使点
到平面
的距离等于
.
正确答案
见解析
解析
(1)证明:当,可知,
.
又,
,且
,
平面
.
而平面
,
.
由
平面
.
(2)解:如图所示,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为、
、
、并设
.
设平面的法向量为
,则
.
,
,
且,
,取
,
得平面的一个法向量为
,
且,又
,于是点
到平面
的距离
,或
(舍)
所以,当点为棱
的中点时,点
到平面
的距离等于
.
知识点
在如图所示的几何体中,是边长为2的正三角形,
平面ABC,平面
平面ABC,BD=CD,且
(1)若AE=2,求证:AC、、平面BDE;
(2)若二面角A—DE—B为60°,求AE的长。
正确答案
见解析。
解析
(1)分别取 的中点
,连接
,
则∥
,
∥
,且
因为,
,
为
的中点,
所以,
又因为平面⊥平面
,
所以平面
……………2分
又平面
,
所以∥
……………………4分
所以∥
,且
,因此四边形
为平行四边形,
所以∥
,所以
∥
,又
平面
,
平面
,
所以∥平面
.……………………6分
(或者建立空间直角坐标系,求出平面的法向量
,计算
即证)
(2)解法一:
过作
的延长线于
,连接
.
因为,
,
所以平面
,
平面
则有.
所以平面
,
平面
,
所以.
所以为二面角
的平面角,
即. ……………………9分
在中,
,则
,
.
在中,
.
设,则
,所以
,又
在中,
,即
=
解得,所以
………………12分
解法二:
由(1)知平面
,
,
建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则
,
,
,
,
,
.
设平面的法向量
则 所以
令, 所以
……………………9分
又平面的法向量
所以
解得, 即
……………………12分
知识点
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