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题型:简答题
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简答题 · 14 分

对于数列{an},从第二项起,每一项与它前一项的差依次组成等比数列,称该等比数列为数列{an}的“差等比数列”,记为数列{bn}. 设数列{bn}的首项b1=2,公比为q(q为常数)。

(1)若q=2,写出一个数列{an}的前4项;

(2)(ⅰ)判断数列{an}是否为等差数列,并说明你的理由;

(ⅱ)a1与q满足什么条件,数列{an}是等比数列,并证明你的结论;

(3)若a1=1,1<q<2,数列{an+cn}是公差为q的等差数列(n∈N*),且c1=q,求使得cn<0成立的n的取值范围.

正确答案

见解析

解析

(1)因为数列是等比数列,且

所以

所以. (写出满足条件的一组即可)

…………………………  2分

(2)(ⅰ)因为

所以,…,.

所以.

①若,所以

所以数列是等差数列.                          …………………………  3分

②若,所以

所以.

因为,  所以不是常数.

所以数列不是等差数列.                         …………………………  5分

(ⅱ)因为数列是等比数列,首项,公比为

所以.  所以.

因为数列是等比数列,

所以,即        所以.

所以当时,数列是等比数列.             ………………………… 7分

(3)因为是公差为的等差数列,

所以   又

所以

所以,…,

所以

                            …………………………  9分

所以

,…

猜想:当时,.

用数学归纳法证明:

①当时,显然成立,

②假设当时,

那么当时,

因为

所以

所以

所以当时,成立。

由①、②所述,当时,恒有.              …………………………  14分

知识点

平面与平面平行的判定与性质
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,弧是半径为的半圆,为直径,点为弧的中点,点和点为线段的三等分点,线段与弧交于点,且,平面外一点满足平面,

(1)证明:

(2)将(及其内部)绕所在直线旋转一周形成一几何体,求该几何体的体积。

正确答案

见解析

解析

(1)证明: 为直径,点为弧的中点,

,即。………2分

平面,平面

平面,……4分

平面

。…………………………6分

⑵ 如图所示,建立空间直角坐标系,则相关点的坐标为,………………………7分

 则由,得

,…………………………9分

,由题设知,所得几何体为圆锥,其底面积为 ,高为。……………………11分

所以该圆锥的体积为。……………………12分

知识点

平面与平面平行的判定与性质
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面与平面所成的角依次是依次是的中点。

(1)求直线与平面所成的角(结果用反三角函数值表示);

(2)求三棱锥的体积。

正确答案

见解析

解析

(1)【解法一】分别以轴、轴、轴建立空间直角坐标系,

依题意,

则各点坐标分别是

,

又∵平面

∴平面的法向量为, (2分)

设直线与平面所成的角为,则

,          (6分)

∴直线与平面所成的角为。                 (7分)

【解法二】∵平面

,又,

平面

中点中点,联结

是平行四边形,

即为直线与平面所成的角,(2分)

中,

中,,             (6分)

∴直线与平面所成的角为。                (7分)

(2)【解法一】由(1)解法一的建系得,,

设平面的法向量为,点到平面的距离为

,    (2分)

,      (4分)

。    (7分)

【解法二】易证即为三棱锥底面上的高,

,     (2分)

底面上的高等于,且

    (4分)

。  (7分)

【解法三】依题意,平面

 (4分)

。         (7分)

知识点

平面与平面平行的判定与性质
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,在直三棱柱中,.

(1)若,求证:平面

(2)若是棱上的一动点。试确定点的位置,使点到平面的距离等于.

正确答案

见解析

解析

(1)证明:当,可知, .

,且

平面.

平面.

平面.

(2)解:如图所示,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为、并设.

设平面的法向量为,则.

,取

得平面的一个法向量为

,又,于是点到平面的距离

,或(舍)

所以,当点为棱的中点时,点到平面的距离等于.

知识点

平面与平面平行的判定与性质
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

在如图所示的几何体中,是边长为2的正三角形,平面ABC,平面平面ABC,BD=CD,且

(1)若AE=2,求证:AC、、平面BDE;

(2)若二面角A—DE—B为60°,求AE的长。

正确答案

见解析。

解析

(1)分别取 的中点,连接,

,,且

因为,的中点,

所以,

又因为平面⊥平面,

所以平面      ……………2分

平面,

所以      ……………………4分

所以,且,因此四边形为平行四边形,

所以,所以,又平面平面

所以∥平面.……………………6分

(或者建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,计算即证)

(2)解法一:

的延长线于,连接.

因为,,

所以平面,平面

则有.

所以平面,平面,

所以.

所以为二面角的平面角,

.           ……………………9分

中,,则 ,.

中,.

,则,所以,又

中,,即=

解得,所以 ………………12分

解法二:

由(1)知平面,

建立如图所示的空间直角坐标系.

,则,,

,

,.

设平面的法向量

                  所以

,  所以                  ……………………9分

又平面的法向量

所以

解得, 即                  ……………………12分

知识点

平面与平面平行的判定与性质
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