热门试卷

解法一：证明：

（1）取BC的中点O，连接EO，AO，   EO//DC所以EO⊥BC

因为为等边三角形，所以BC⊥AO 所以BC⊥面AEO，故BC⊥AE……（6分）

（2）连接PE，因为面BCD⊥面ABC，DC⊥BC，所以DC⊥面ABC，而EODC

所以EOPA，故四边形APEO为矩形  ……………………………………………（7分）

易证PE⊥面BCD，连接EF，则PFE为PF与面DBC所成的角，………….. （9分）

又PE⊥面BCD，所以，

∴为面与面所成的角，即，……………（11分）

此时点即在线段上移动，设，则，

=..............................................。（14分）

解法二：（请结合方法一的证明，接下证明：假设则

取BC的中点M，分别以MA,MB,ME为x,y,z轴，建立如图所示的平面直角坐标系。

容易知道

(1)

---------------------------（6分 ）

(2) 设且，平面PBE的一个法向量为

平面PEF的一个法向量为，又有：

，又

，又因为：向量是平面DBC的一个法向量。且

，且

-------------------------------------------(14分)

证明：（1） 设AC∩BD＝G，连结FG，易知G是AC的中点，

因为 F是EC中点，所以 在△ACE中，FG∥AE，

因为 AE⊄平面BDF，FG⊂平面BDF，

所以 AE∥平面BDF。

（2） 因为 平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，

平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以 BC⊥平面ABE，

因为 AE⊂平面ABE，所以 BC⊥AE

又AE⊥BE，BC∩BE＝B，所以 AE⊥平面BCE，又FG∥AE，

所以FG⊥平面BCE，

因为 FG⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE，

（1）不妨设正方体的棱长为1，以分别为轴，建立空间直角坐标系，则，因为，则，

所以，因为，

所以异面直线与所成的角的余弦值为。

（2）设平面的法向量为，由，，

得取，得，即，

由，则，，

又设平面的法向量为，由，，

得   取，得，即，

因为平面平面，所以，得。

（1）设O为AB的中点，连接OD、OE，因为平面平面ABCD，且，

所以平面ABCD，所以，在直角梯形ABCD中，由CD＝OB，可得，由OB、OD、OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系。

因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OD＝OE＝1             （2分）

由AB＝2CD＝2BC＝2得，

所以，平面ABE的一个法向量为              （4分）

设直线EC与平面ABE所成的角为，所以，

即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为              （6分）

（2）存在点F，且时，有平面FBD         （7分）

证明如下：由，所以           （8分）

设平面FBD的法向量为，则有，

所以，取得，得                    （10分）

因为，且平面FBD，所以平面FBD.

即点F满足时，有平面FBD.                     （12分）