热门试卷

（1）证明: 过A作AFDC于F, 则CF=DF=AF,

所以, 即

又底面,面,所以

因为面,且,

所以底面

而面, 所以平面平面

（2）连接BD交AC于点O, 连接EO, 因为平面,面,

面面AEC=EO, 所以PD//EO

则=, 而, 所以

证明: 因为

·=9

当且仅当时等号成立, 则由,

知

解法1：（1）易知，AB，AD，AA1两两垂直，如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AB＝t，则相关各点的坐标为：

A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)。

从而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0)。

因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0.解得或(舍去)。

于是＝(，3，－3)，＝(，1,0)。

因为·＝－3＋3＋0＝0，所以⊥，即AC⊥B1D。

（2）由（1）知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0)。

设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则

即

令x＝1，则n＝(1，，)。

设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则

sin θ＝|cos〈n，〉|＝

＝.

即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.

解法2：（1）如图，因为BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以AC⊥BB1.

又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D。

而B1D平面BB1D，所以AC⊥B1D。

（2）因为B1C1∥AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为θ)。

如图，连结A1D，因为棱柱ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，所以A1B1⊥平面ADD1A1.

从而A1B1⊥AD1.

又AD＝AA1＝3，所以四边形ADD1A1是正方形，于是A1D⊥AD1.

故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D。

由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ.

在直角梯形ABCD中，因为AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB。从而Rt△ABC∽Rt△DAB，

故.即AB＝.

连结AB1，易知△AB1D是直角三角形，

且B1D2＝BB12＋BD2＝BB12＋AB2＋AD2＝21，

即B1D＝.在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝，即cos(90°－θ)＝.

从而sin θ＝.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.

（1）不妨设正方体的棱长为1，以

为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系。

则A(1，0，0)，，，D1(0，0，1)，

E，

于是，.

由cos＝＝.

所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为.

（2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m·＝0，m·＝0

得  取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1) .

由D1E＝λEO，则E，=.

又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0.

得  取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ) .

因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得λ＝2。