- 平面与平面平行的判定与性质
- 共195题
设复数,若
为纯虚数,则实数
( )
正确答案
解析
为纯虚数,得
,即
.
知识点
如图,在各棱长均为的三棱柱
中,侧面
底面
,
。
(1)求侧棱与平面
所成角的正弦值的大小;
(2)已知点满足
,在直线
上是否存在点
,使
?若存在,请确定点
的位置;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)
∵侧面底面
,作
于点
,∴
平面
.
又,且各棱长都相等,∴
,
,
.
故以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,则
,
,
,
,
∴,
,
,
设平面的法向量为
,
则 解得
.
由,
而侧棱与平面
所成角,即是向量
与平面
的法向量所成锐角的余角,
∴侧棱与平面
所成角的正弦值的大小为
,
(2)∵,而
∴
又∵,∴点
的坐标为
,
假设存在点符合题意,则点
的坐标可设为
,∴
。
∵,
为平面
的法向量,
∴由,得
,
又平面
,故存在点
,使
,其坐标为
,即恰好为
点。
知识点
如图1,直角梯形中,
,
分别为边
和
上的点,且
,
,将四边形
沿
折起成如图2的位置,使
。
(1)求证:平面
;
(2)求平面与平面
所成锐角的余弦值.
正确答案
见解析
解析
(1)取DE中点G,连接FG,AG,CG.
CFDG,所以FG∥CD.
CGAB, ,所以AG∥BC.
所以 平面AFG∥平面CBD
所以 AF∥平面CBD ……5分
(2)如图以中点为原点,
为
轴建立如图所示的空间直角坐标系,则
,
,
,
所以的中点坐标为
因为
,所以
易知是平面
的一个法向量,
设平面的一个法向量为
由 ……8分
令则
,
,
所以面与面
所成角的余弦值为
. ……12分
知识点
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥BC,D为棱CC1上任一点。
(1)求证:直线A1B1∥平面ABD;
(2)求证:平面ABD⊥平面BCC1B1。
正确答案
见解析
解析
证明:(1)由直三棱柱ABC﹣A1B1C1,得A1B1∥AB,
又EF⊄平面ABD,AB⊂平面ABD,
∴EF∥平面ABD。
(2)∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,∴AB⊥BB1,AB⊥BC,
∴AB⊥平面BCC1B1,
又∵AB⊂平面ABD,
∴平面ABD⊥平面BCC1B1。
知识点
在如图所示的多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1,G为AD中点。
(1)请在线段CE上找到点F的位置,使得恰有直线BF∥平面ACD,并证明这一事实;
(2)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小;
(3)求点G到平面BCE的距离。
正确答案
见解析
解析
解法一:以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系,使得轴和
轴的正半轴分别经过点A和点E,则各点的坐标为
,
,
,
,
,
(1)点F应是线段CE的中点,下面证明:
设F是线段CE的中点,则点F的坐标为,∴
,
显然与平面
平行,此即证得BF∥平面ACD; ……………………4分
(2)设平面BCE的法向量为,
则,且
,
由,
,
∴,不妨设
,则
,即
,
∴所求角满足
,∴
; ……………………8分
(3)由已知G点坐标为(1,0,0),∴,
由(2)平面BCE的法向量为,
∴所求距离。 ……………………12分
解法二:(1)由已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,∴AB//ED,
设F为线段CE的中点,H是线段CD的中点,
连接FH
则,∴
, …………………2分
∴四边形ABFH是平行四边形,∴,
由平面ACD内,
平面ACD,
平面ACD; ……………4分
(2)由已知条件可知即为
在平面ACD上的射影,
设所求的二面角的大小为,则
, ……………………6分
易求得BC=BE,CE
,
∴,
而,
∴,而
,
∴; ………………8分
(3)连结BG、CG、EG,得三棱锥C—BGE,
由ED平面ACD,∴平面ABED
平面ACD ,
又,∴
平面ABED,
设G点到平面BCE的距离为,则
即
,
由,
,
,
∴即为点G到平面BCE的距离,………………12分
知识点
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