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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

设复数,若为纯虚数,则实数(   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

为纯虚数,得,即.

知识点

平面与平面平行的判定与性质
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

如图,在各棱长均为的三棱柱中,侧面底面

(1)求侧棱与平面所成角的正弦值的大小;

(2)已知点满足,在直线上是否存在点,使?若存在,请确定点的位置;若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)

∵侧面底面,作于点,∴平面.

,且各棱长都相等,∴.

故以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则

设平面的法向量为

    解得.

而侧棱与平面所成角,即是向量与平面的法向量所成锐角的余角,

∴侧棱与平面所成角的正弦值的大小为

(2)∵,而  ∴

又∵,∴点的坐标为

假设存在点符合题意,则点的坐标可设为,∴

为平面的法向量,

∴由,得

平面,故存在点,使,其坐标为,即恰好为点。

知识点

平面与平面平行的判定与性质
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图1,直角梯形中,分别为边上的点,且,将四边形沿折起成如图2的位置,使

(1)求证:平面

(2)求平面与平面所成锐角的余弦值.

正确答案

见解析

解析

(1)取DE中点G,连接FG,AG,CG.

CFDG,所以FG∥CD.

CGAB, ,所以AG∥BC.

所以 平面AFG∥平面CBD

所以 AF∥平面CBD          ……5分

(2)如图以中点为原点,轴建立如图所示的空间直角坐标系,则

所以的中点坐标为因为,所以

易知是平面的一个法向量,

设平面的一个法向量为

    ……8分

所以面与面所成角的余弦值为.        ……12分

知识点

平面与平面平行的判定与性质
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥BC,D为棱CC1上任一点。

(1)求证:直线A1B1∥平面ABD;

(2)求证:平面ABD⊥平面BCC1B1

正确答案

见解析

解析

证明:(1)由直三棱柱ABC﹣A1B1C1,得A1B1∥AB,

又EF⊄平面ABD,AB⊂平面ABD,

∴EF∥平面ABD。

(2)∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,∴AB⊥BB1,AB⊥BC,

∴AB⊥平面BCC1B1

又∵AB⊂平面ABD,

∴平面ABD⊥平面BCC1B1

知识点

平面与平面平行的判定与性质
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

在如图所示的多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1,G为AD中点。

       

(1)请在线段CE上找到点F的位置,使得恰有直线BF∥平面ACD,并证明这一事实;

(2)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小;

(3)求点G到平面BCE的距离。

正确答案

见解析

解析

       

解法一:以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系,使得轴和轴的正半轴分别经过点A和点E,则各点的坐标为

(1)点F应是线段CE的中点,下面证明:

设F是线段CE的中点,则点F的坐标为,∴

显然与平面平行,此即证得BF∥平面ACD;       ……………………4分

(2)设平面BCE的法向量为

,且

,不妨设,则,即

∴所求角满足,∴;       ……………………8分

(3)由已知G点坐标为(1,0,0),∴

由(2)平面BCE的法向量为

∴所求距离。                        ……………………12分

解法二:(1)由已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,∴AB//ED,

设F为线段CE的中点,H是线段CD的中点,

连接FH

,∴,             …………………2分

∴四边形ABFH是平行四边形,∴

平面ACD内,平面ACD,平面ACD;    ……………4分

(2)由已知条件可知即为在平面ACD上的射影,       

设所求的二面角的大小为,则,            ……………………6分

易求得BC=BE,CE

,而

;                                                                   ………………8分

(3)连结BG、CG、EG,得三棱锥C—BGE,

由ED平面ACD,∴平面ABED平面ACD ,

,∴平面ABED,

设G点到平面BCE的距离为,则

即为点G到平面BCE的距离,………………12分

知识点

平面与平面平行的判定与性质
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