平面与平面平行的判定与性质
共195题

· 平面与平面平行的判定与性质

平面与平面平行的判定与性质
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题型：简答题

简答题 · 10 分

22.请考生在22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在正方形ABCD，E,G分别在边DA,DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.

(I) 证明：B,C,E,F四点共圆；

(II)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.

（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（II）直线l的参数方程是（t为参数）,l与C交于A、B两点，∣AB∣=，求l的斜率。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)= ∣x-∣+∣x+∣，M为不等式f(x) ＜2的解集.

（I）求M；

（II）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。

正确答案

知识点

平面与平面平行的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 15 分

如图，在三棱台中，已知平面BCFE平面ABC，，，，，

18.求证：

19.求二面角的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

延长，，相交于一点，如图所示．

因为平面平面，且，所以，

平面，因此，

．

又因为，，，所以

为等边三角形，且为的中点，则

．

所以平面．

解析

见答案。

考查方向

空间线与面和面与面垂直的判定与性质，空间二面角平面角的计算

解题思路

先证，再证，进而可证平面

易错点

没有对面BCFE的分析，建立坐标系不当或对棱台上下底面比例性质不清楚，导致点坐标计算出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

过点作，连结．

因为平面，所以，则平面，所以．

所以，是二面角的平面角．

在中，，，得．

所以，二面角的平面角的余弦值为．

考查方向

空间线与面和面与面垂直的判定与性质，空降二面角平面角的计算

解题思路

先建立空间直角坐标系，再计算平面和平面的法向量，进而可得二面角的平面角的余弦值．

易错点

没有对面BCFE的分析，建立坐标系不当或对棱台上下底面比例性质不清楚，导致点坐标计算出错。

题型：填空题

填空题 · 4 分

14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .

正确答案

知识点

平面与平面平行的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD, ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是．

19.证明：平面ABEF平面EFDC；

20.求二面角E-BC-A的余弦值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：

由已知可得,,所以平面．

又平面,故平面平面．

考查方向

本题考查了垂直问题的证明及空间向量的应用等知识点。

解题思路

先证明，进而证明平面ABEF平面EFDC；

易错点

解题步骤不完整或考虑不全致推理片面导致出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析：本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：

过作,垂足为,由（I）知平面．

以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系．

由（I）知为二面角的平面角,故,则,,可得,,,．

由已知,,所以平面．

又平面平面,故,．

由,可得平面,所以为二面角的平面角,

．从而可得．

所以,,,．

设是平面的法向量,则

,即,

所以可取．

设是平面的法向量,则,

同理可取．则．

故二面角的余弦值为．

考查方向

本题考查了垂直问题的证明及空间向量的应用等知识点。

解题思路

建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再利用公式即可求出二面角．

易错点

解题步骤不完整或考虑不全致推理片面导致出错。

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，直三棱柱中，,分别为的中点.

19.求证：

20.若，求二面角的平面角的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

解析

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）证明时要找到面面平行才能下手去做；

（2）要注意二面角与向量夹角之间的关系。

如图，取中点，连结,

∵分别是的中点,∴,

∴平面//平面，∴平面；

考查方向

本题考查空间几何体中线线、线面、面面的位置关系和二面角的余弦值的求解，意在考查考生的空间想象能力和计算能力．

解题思路

本题考查空间几何体的基本证明和二面角计算，解题步骤如下：

1、利用面面平行的性质得到线线平行这个思路去作出辅助线再结合已知证出结论。

2、建系计算出法向量再利用公式得出结论。

易错点

第一问不易根据题意想到利用面面平行得出线面平行关系而没思路。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）证明时要找到面面平行才能下手去做；

（2）要注意二面角与向量夹角之间的关系。

根据题意，建立如图空间直角坐标系：

则

设平面的法向量，

∵

由，得，令，得，∴

同理可得平面的一个法向量，∴

所以二面角的余弦值为．

考查方向

本题考查空间几何体中线线、线面、面面的位置关系和二面角的余弦值的求解，意在考查考生的空间想象能力和计算能力．

解题思路

本题考查空间几何体的基本证明和二面角计算，解题步骤如下：

1、利用面面平行的性质得到线线平行这个思路去作出辅助线再结合已知证出结论。

2、建系计算出法向量再利用公式得出结论。

易错点

第一问不易根据题意想到利用面面平行得出线面平行关系而没思路。

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