热门试卷

为中点，为的中位线

又为棱柱，

，又平面，且

平面；

为直棱柱，平面

，又

且，平面

平面，

又，平面

又平面，

又，，且平面

平面，又

平面平面．

本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：

由题意可知，，如图建立空间直角坐标系，则

.

（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.

本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：

由题意可知，，如图建立空间直角坐标系，则

.

（II）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得.

因此有，于是，所以，二面角的正弦值为.

本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：

由题意可知，，如图建立空间直角坐标系，则

.

（III）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角的正弦值为.

（1）证明：∵ 且点为的中点，

∴ ，又平面平面，且平面平面，平面，

∴ 平面，又平面，

∴ ；

（2）∵ 是矩形，

∴ ，又平面平面，且平面平面，平面，

∴ 平面，又、平面，

∴ ，，

∴ 即为二面角的平面角，

在中，，，，

∴ 即二面角的正切值为；

（3）如下图所示，连接，

∵ ，即，

∴ ，

∴ 为直线与直线所成角或其补角，

在中，，，

由余弦定理可得，

∴ 直线与直线所成角的余弦值为．

试题分析：本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：

由PA⊥平面ABCD，得DE⊥PA．连接AE，因为，所以由勾股定理可得DE⊥AE．所以DE⊥平面PAE，因此PE⊥ED．

试题分析：本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：过点F作FH∥ED交AD于点H，则FH∥平面PED，且有AH＝AD．再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PED，且AG＝AP．

由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD．，进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD，从而确定G点位置．

连接，，，交于点，因为底面是正方形，所以且为的中点.又所以平面，由于平面,故.又,故.

解法1：

设的中点为,连接,∥=,所以为平行四边形，∥，因为平面，所以平面，所以,的中点为,所以.由平面，可得，又，又所以平面所以,又,所以平面（注意：没有证明出平面，直接运用这一结论的，后续过程不给分）由题意,两两垂直， ,以为坐标原点,向量 的方向为轴轴轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则，为平面的一个法向量.设直线与平面所成角为，所以直线与平面所成角为.

解法2：

设的中点为,连接,则∥=,所以为平行四边形，∥，因为平面，所以平面，所以,的中点为,所以.同理，又，又所以平面，所以,又,所以平面。连接、，设交点为，连接，设的中点为，连接，则在三角形中，∥，所以平面，又在三角形中，∥，所以即为直线与平面所成的角.,,所以在直角三角形,所以,直线与平面所成的角为.

证：（1）因为M，N分别为AB，PA的中点，

所以MN∥PB．

因为MN平面MNC，PB平面MNC，

所以PB∥平面MNC.

证： （2）因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.

因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.

因为平面PAB⊥平面ABC，CM平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，

所以CM⊥平面PAB．

因为PA平面PAB，所以CM⊥PA．

因为PA⊥MN，MN平面MNC，CM平面MNC，MN∩CM＝M，

所以PA⊥平面MNC.