热门试卷

（Ⅰ）因为平面平面，平面∩平面,

所以平面，又平面,

所以

在折起过程中，,同时∩，

所以平面

以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

若时，则各点坐标如下：，, , .

可得平面的法向量．

因为，所以

所以,

故.

则,解得.

所以线段上存在一点，且，使得∥平面ABEF.

（Ⅱ）设，所以，,

所以，

所以当时，有最大值，且最大值为.

可得, , ，.

所以,,,.

设平面的一个法向量为,

则,即.

取，则,

设平面的一个法向量为,

则，即

同理可得

所以

所以二面角E﹣AC﹣F的余弦值为.

如图，过点作于，连接   .

平面平面，平面平面平面于

平面又平面，四边形为平行四边形.平面，平面平面

连接由22题，得为中点，又，为等边三角形，

分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则

，，

设平面的法向量为.由得

令，得.

设平面的法向量为.由得

令，得.

故二面角的余弦值是.

连结，交于，连.在三棱柱中，四边形为平行四边形，则,又是中点，∴，而平面，平面，∴平面.

设点到平面的距离是，则，而，故当三棱锥体积最大时，，即平面.

由（Ⅰ）知：，所以到平面的距离与到平面的距离相等.

∵平面，平面，∴，

∵是等边三角形，是中点，∴，又，平面，平面，∴平面，∴，由计算得：，所以， 设到平面的距离为，由得：，所以到平面的距离是

（1）∵底面ABCD是平行四边形，，，∴底面ABCD是边长为2的正方形，取AD的中点G，连接HE，HG，GC，根据题意得HG=EC=1，且HG∥EC∥PD，则四边形EHGC是平行四边形

所以HE∥GC，HE平面ABCD，GC平面ABCD，故HE∥平面ABCD

（2）法一：如图，取PB的中点M，连接AC，DB交于点F，连接ME，MF，作FK⊥PB于点K，容易得到∠AKF是二面角A-PB-D的平面角

，～，易得，

从而，所以

由于点M是PB的中点，所以MF是△PDB的中位线，MF∥PD，且，，且MF∥EC，故四边形MFCE是平行四边形，则ME∥AC，又AC⊥平面PDB，则ME⊥平面PDB，ME平面PBE，所以平面PBE⊥平面PDB，所以二面角A-PB-E的大小就是二面角A-PB-D的大小与直二面角D-PB-E的大小之和

故二面角的大小为

法二：由（1）知，DA，DC，DP两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示，设PA的中点为N，连接DN，则D（0,0,0），A(2,0,0)，B（2,2,0），E（0,2,1），P（0,0,2），N（1,0,1），易知DN⊥PA，DN⊥AB，所以DN⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为

设平面PBE的法向量为，因为，，由得，取，则，，所以为平面PBE的一个法向量。

所以

从图形可知，二面角A-PB-E是钝角，所以二面角A-PB-E的大小为

（Ⅰ）连结，交于，连.在三棱柱中，四边形为平行四边形，则,又是中点，∴，而平面，平面，∴平面.

（Ⅱ）设点到平面的距离是，则，而，故当三棱锥体积最大时，，即平面.

由（Ⅰ）知：，所以到平面的距离与到平面的距离相等.

∵平面，平面，∴，

∵是等边三角形，是中点，∴，又，平面，平面，∴平面，∴，由计算得：，所以，

设到平面的距离为，由得：，所以到平面的距离是