热门试卷

（1）因为平面平面，交线为，

又在中，于，平面

所以平面 .                      ---------------------------------3分

（2）由（1）结论平面可得.

由题意可知，又.

如图，以为坐标原点，分别以所在直线

为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系

--------------------4分

不妨设，则.

由图1条件计算得，，，

则-------5分

.

由平面可知平面DCB的法向量为. --------------------------------6分

设平面的法向量为，则

   即

令，则，所以.---------------------------------8分

平面DCB的法向量为

所以，

所以二面角的余弦值为            --------------------------9分

（3）设，其中.

由于，

所以，其中   ------------------------10分

所以        ------------------------11分

由，即            --------------------------12分

解得.                             ---------------------------13分

所以在线段上存在点使，且.-------------14分

（1）矩形中，-

平面，平面,平面，

同理平面,

又u平面∥平面

（2）取的中点.

由于面, ∥,

又是菱形，是矩形，所以，是全等三角形，

所以，就是二面角的平面角

解法1（几何方法）：

延长到，使,由已知可得，是平行四边形，又矩形，所以是平行四边形，共面，由上证可知，　，,相交于，平面，为所求。

由,,得

等腰直角三角形中，,可得

直角三角形中,

解法2几何方法）：由，，得平面，欲求直线与平面所成的角，先求与所成的角. ------12分

连结，设则在中，，，用余弦定理知 ---14分

解法3（向量方法）：

以为原点，为轴、为轴

建立如图的直角坐标系，由则，

，平面的法向量，

.

（1）

矩形中，

平面，平面,平面，

同理平面,

又u平面∥平面

（2）取的中点.

由于面, ∥,

又是菱形，是矩形，所以，是全等三角形，

所以，就是二面角的平面角

解法1（几何方法）：

延长到，使,由已知可得，是平行四边形，又矩形，所以是平行四边形，共面，由上证可知，　，,相交于，平面，为所求。

由,,得

等腰直角三角形中，,可得

直角三角形中,

解法2(几何方法）：由，，得平面，欲求直线与平面所成的角，先求与所成的角.

连结，设则在中，，，用余弦定理知

解法3（向量方法）：

以为原点，为轴、为轴

建立如图的直角坐标系，由则，

，平面的法向量，

.

（1）证明：连结CB1，∵P是BC1的中点 ，∴CB1过点P，

∵N为AB1的中点，∴PN//AC,-

又∵面，面,

∴PN//平面ABC.

（2）证法一：在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，

∴  AC＝A1C1＝---

∵棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，且，以点C1为

原点，以C1B1所在的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系如图示，则

，,, , --

∴,-

∵---

∴ A1M⊥AB1------

【证法二：连结AC1，在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，

∴  AC＝A1C1＝

∵=,------

∴----

，

即AC1⊥A1M. --

∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且

∴B1C1⊥平面AA1CC1，--

∴B1C1⊥A1M，又，故A1M⊥A B1C1，-

面A B1C1， ∴ A1M⊥AB1. --

【证法三：连结AC1，在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，

∴  AC＝A1C1＝--

设∠AC1A1＝α，∠MA1C1＝β

∵,-----

∴α+β＝90°  即AC1⊥A1M. -----

∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且

∴B1C1⊥平面AA1CC1，

∴B1C1⊥A1M，又

故A1M⊥面A B1C1，---

面A B1C1， ∴ A1M⊥AB1. --

（3）

解法一：∵棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，且，

以点C1为原点，以C1B1所在的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系，

依题意得，,,,,

,--------

设面的一个法向量为

由得,令得.---

同理可得面的一个法向量为--

故二面角的平面角的余弦值为

--

【解法二：过C1作C1E⊥A1B1交A1B1于点E，过E作EF⊥AB1交AB1于F，连结C1 F，

∵平面AA1BB1⊥底面A1B1C1，∴ C1E⊥平面AA1BB1，

∴ C1E⊥AB1，∴ AB1⊥平面C1EF，∴ AB1⊥C1F，

故为二面角C1—A B1—A1的平面角，--

在中，,

,,--

又故----

----

解法一：向量法）（Ⅰ）由题设条件，可按如图4-1建立空间直角坐标系，其中为中点，不妨设正方形的边长为，,则可知，

，，

于是，，

从而，故，即

（Ⅱ）为等腰三角形，又易知为直角，故只能为，故,易知，即. 显然为平面的法向量，设平面的法向量为，由上可知，又，

由，故，

即亦是平面的法向量，

从而，又易知二面角为钝角，故二面角的余弦值即为.

（解法二：传统法）

（Ⅰ）如图4-2，设点是棱的中点，连接，，，

由及点是棱的中点，可知，

又二面角为直二面角，故面，

而在平面内，故，

因为四边形为正方形，故，

而是的中位线，故，从而可知，

又，由及，可知面，

在平面内，故.

（Ⅱ）设点是与的交点，由（Ⅰ）可知面，

又均在平面内，从而有，，

故为二面角的平面角，

因为为等腰三角形，又易知为直角，故只能为，

不妨设正方形的边长为，，故，易知，

则在直角中，易知有，，

于是，故，

显然，故，

即二面角的余弦值为。