热门试卷

【法一】（1）当时，作在上的射影，连结。

则平面，∴，∴是的中点，又，∴也是的中点，

即， 反之当时，取的中点，连接.。

∵为正三角形，∴，  由于为的中点时，

∵平面，∴平面，∴，……6′

（2）当时，作在上的射影，则底面。

作在上的射影，连结，则。

∴为二面角的平面角。

又∵，∴，∴。

∴，又∵，∴。

∴，∴的大小为，…12

【法二】以为原点，为轴，过点与垂直的直线为轴，

为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

设，则..。

（1）由得，

即，∴，即为的中点，

也即时，，…………4′

（2）当时，点的坐标是， 取。

则，。

∴是平面的一个法向量。

又平面的一个法向量为。

∴，∴二面角的大小是，……8′

（1）证明：∵底面是梯形，，，

∴

∵平面，平面，∴ ，

∵，

∴平面.                                  ………………………… 3分

（2）以为原点，分别以，，所在直线，，轴建立空间直角坐标系.

∴，，，，.

∴，.

∴

∴异面直线与所成角的余弦值是           …………………………8分

（3）假设在侧棱上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值是，

设  ∴，.

∴设平面的法向量为，

∴，，

∴

令，所以，.      ∴.

又∵平面的法向量为，

∴，即

解得

∴点的坐标是.

∴在侧棱上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值是.

…………………………  14分

（1）取的中点，连接.

在△中，是的中点，是的中点，所以，

又因为，

所以且.

所以四边形为平行四边形，

所以.

又因为平面，平面，

故平面.…………… 4分

解法二：因为平面，，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.            ……………1分

由已知可得

（1），  .……………2分

设平面的一个法向量是.

由得

令，则.  ……………3分

又因为，

所以，又平面，所以平面.  ……………4分

（2）由（1）可知平面的一个法向量是.

因为平面，所以.

又因为，所以平面.

故是平面的一个法向量.

所以，又二面角为锐角，

故二面角的大小为.……………10分

（3）假设在线段上存在一点，使得与所成的角为.

不妨设（），则.

所以，

由题意得，

化简得，

解得.

所以在线段上不存在点，使得与所成的角为.…………14分

（1）                         …………1分

由已知，解得.                            …………3分

（2）函数的定义域为.

1）当时, ，的单调递增区间为；  ……5分

2）当时.

当变化时，的变化情况如下：

由上表可知，函数的单调递减区间是；

单调递增区间是.                            …………8分

（2）由得，…………9分

由已知函数为上的单调减函数，

则在上恒成立，

即在上恒成立。

即在上恒成立.                         …………11分

令，在上，

所以在为减函数. ,

所以.                                           …………14分

（1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OP⊥OC

由已知易得三角形ABC为直角三角形，

∴OA=OB=OC，⊿POA≌⊿POB≌⊿POC，∴OP⊥OB

∴OP⊥平面ABC，∵OP在平面PAC中，∴平面⊥平面       4分

（2）以O为坐标原点，OB.OC.OP分别为x.y.z轴建立如图所示空间直角坐标系。

由已知得O（0，0，0），B（2，0，0），A（0，-2，0），C（0，2，0），P（0，0，），5分

∴

设平面PBC的法向量，

由得方程组

，取   6分

∴ 

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。 8分

（2）由题意平面PAC的法向量，

设平面PAM的法向量为

∵又因为

∴  取

∴ 

∴                                  11分

∴B点到AM的最小值为垂直距离。     12分

（方法一）（1） ∵是斜三棱柱, ∴平面，

故侧棱B1B在平面上的正投影的长度等于侧棱的长度。

又,故侧棱在平面的正投影的长度等于.

（2）证明： ∵，，∴

∴三角形是等腰直角三角形，

又D是斜边AC的中点，∴

∵平面⊥平面，∴A1D⊥底面

（3）作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，∵A1D⊥面ABC，得A1D⊥AB。

∴平面，

从而有，∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角，

∵，∴

∴三角形是直角三角形，

∴ED∥BC ，又D是AC的中点，

∴，

∴，

即侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的余弦值为.

（方法二）

（1）同方法一

（2）同方法一

（3）∵， ∴

∴三角形是直角三角形，过B作AC的垂线BE，垂足为E，

则，

∴ (8分)

以D为原点，所在的直线为轴，DC所在的直线为轴，平行于BE的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则

设平面的法向量为，

则，即化简得

令，得，所以是平面的一个法向量.

由（1）得A1D⊥面ABC，所以设平面ABC的一个法向量为

设向量和所成角为，则

即侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的余弦值为.

（1）当a=1时，g（x）=x3+2x2﹣2x，g′（x）=x2+4x﹣2

由g′（x）＜0解得﹣2﹣＜x＜﹣2+

∴当a=1时函数g（x）的单调减区间为 （﹣2﹣，2+）；

（2）易知f（x）=g′（x）=x2+4x﹣2

依题意知  =a（）2+4×﹣2﹣

=﹣（x1﹣x2）2＜0

因为x1≠x2，所以a＞0，即实数a的取值范围是（0，+∞）；

（3）易知f（x）=ax2+4x﹣2=a（x+）2﹣2﹣，a＞0。

显然f（0）=﹣2，由（2）知抛物线的对称轴x=﹣＜0

①当﹣2﹣＜﹣4即0＜a＜2时，M∈（﹣，0）且f（M）=-4

令ax2+4x﹣2=﹣4解得  x=

此时M取较大的根，即M==

∵0＜a＜2，∴M==＞﹣1

②当﹣2﹣≥﹣4即a≥2时，M＜﹣且f（M）=4

令ax2+4x﹣2=4解得 x=

此时M取较小的根，即 M==

∵a≥2，∴M==≥﹣3当且仅当a=2时取等号

由于-3＜-1，所以当a=2时，M取得最小值-3