热门试卷

【法一】（1）当时，作在上的射影，连结。

则平面，∴，∴是的中点，又，∴也是的中点，

即， 反之当时，取的中点，连接.。

∵为正三角形，∴，  由于为的中点时，

∵平面，∴平面，∴，……6′

（2）当时，作在上的射影，则底面。

作在上的射影，连结，则。

∴为二面角的平面角。

又∵，∴，∴。

∴，又∵，∴。

∴，∴的大小为，…12

【法二】以为原点，为轴，过点与垂直的直线为轴，

为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

设，则..。

（1）由得，

即，∴，即为的中点，

也即时，，…………4′

（2）当时，点的坐标是， 取。

则，。

∴是平面的一个法向量。

又平面的一个法向量为。

∴，∴二面角的大小是，……8′

（1）证明：∵底面是梯形，，，

∴

∵平面，平面，∴ ，

∵，

∴平面.                                  ………………………… 3分

（2）以为原点，分别以，，所在直线，，轴建立空间直角坐标系.

∴，，，，.

∴，.

∴

∴异面直线与所成角的余弦值是           …………………………8分

（3）假设在侧棱上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值是，

设  ∴，.

∴设平面的法向量为，

∴，，

∴

令，所以，.      ∴.

又∵平面的法向量为，

∴，即

解得

∴点的坐标是.

∴在侧棱上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值是.

…………………………  14分

（1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OP⊥OC

由已知易得三角形ABC为直角三角形，

∴OA=OB=OC，⊿POA≌⊿POB≌⊿POC，∴OP⊥OB

∴OP⊥平面ABC，∵OP在平面PAC中，∴平面⊥平面       4分

（2）以O为坐标原点，OB.OC.OP分别为x.y.z轴建立如图所示空间直角坐标系。

由已知得O（0，0，0），B（2，0，0），A（0，-2，0），C（0，2，0），P（0，0，），5分

∴

设平面PBC的法向量，

由得方程组

，取   6分

∴ 

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。 8分

（2）由题意平面PAC的法向量，

设平面PAM的法向量为

∵又因为

∴  取

∴ 

∴                                  11分

∴B点到AM的最小值为垂直距离。     12分

（方法一）（1） ∵是斜三棱柱, ∴平面，

故侧棱B1B在平面上的正投影的长度等于侧棱的长度。

又,故侧棱在平面的正投影的长度等于.

（2）证明： ∵，，∴

∴三角形是等腰直角三角形，

又D是斜边AC的中点，∴

∵平面⊥平面，∴A1D⊥底面

（3）作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，∵A1D⊥面ABC，得A1D⊥AB。

∴平面，

从而有，∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角，

∵，∴

∴三角形是直角三角形，

∴ED∥BC ，又D是AC的中点，

∴，

∴，

即侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的余弦值为.

（方法二）

（1）同方法一

（2）同方法一

（3）∵， ∴

∴三角形是直角三角形，过B作AC的垂线BE，垂足为E，

则，

∴ (8分)

以D为原点，所在的直线为轴，DC所在的直线为轴，平行于BE的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则

设平面的法向量为，

则，即化简得

令，得，所以是平面的一个法向量.

由（1）得A1D⊥面ABC，所以设平面ABC的一个法向量为

设向量和所成角为，则

即侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的余弦值为.