- 函数零点的判断和求解
- 共205题
定义区间,,,的长度均为,其中。
(1)已知函数的定义域为,值域为,写出区间长度的最大值与最小值。
(2)已知函数的定义域为实数集,满足 (是的非空真子集) . 集合, ,求的值域所在区间长度的总和,
(3)定义函数,判断函数在区间上是否有零点,并求不等式解集区间的长度总和。
正确答案
(1),(2)(3)5
解析
(1),
解得或,
,解得,
画图可得:区间长度的最大值为,
最小值为.
(2)
当,,
当,,
所以时,
所以值域区间长度总和为。
(3)由于当时,取,,
取,,
所以方程在区间内有一个解
考虑函数,由于当时,,故在区间内,不存在使的实数;
对于集中的任一个,由于当时,
取,,取,
又因为函数在区间内单调递减,
所以方程在区间内各有一个解;
依次记这个解为,
从而不等式的解集是,故得所有区间长度的总和为
………①
对进行同分处理,分子记为
如将展开,其最高项系数为,设
……②
又有 …………③
对比②③中的系数,
可得:
知识点
函数f(x)=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为( )
正确答案
解析
知识点
函数的零点所在区间是( )
正确答案
解析
,,选A
知识点
已知函数
(1)求函数的单调区间;
(2)如果关于x的方程有实数根,求实数的取值集合;
(3)是否存在正数,使得关于x的方程有两个不相等的实数根?如果存在,求满足的条件;如果不存在,说明理由.
正确答案
见解析。
解析
(1)函数的定义域是
对求导得
由 ,由
因此 是函数的增区间;
(-1,0)和(0,3)是函数的减区间
(2)因为
所以实数m的取值范围就是函数的值域
对
令
∴当x=2时取得最大值,且
又当x无限趋近于0时,无限趋近于无限趋近于0,
进而有无限趋近于-∞.因此函数的值域是 ,即实数m的取值范围是
(3)结论:这样的正数k不存在。
下面采用反证法来证明:假设存在正数k,使得关于x的方程
有两个不相等的实数根,则
根据对数函数定义域知都是正数。
又由(1)可知,当时,
∴=,=,
再由k>0,可得
由于 不妨设 ,
由①和②可得
利用比例性质得
即
由于上的恒正增函数,且
又上的恒正减函数,且∴
∴,这与(*)式矛盾。
因此满足条件的正数k不存在
知识点
已知是函数的两个零点,其中常数,设()。
(1)用表示,;
(2)求证:;
(3)求证:对任意的,。
正确答案
见解析
解析
(1)由,。
因为,所以。
。 …………3分
(2)由,得
。
即,同理,。
所以。
所以。……………8分
(3)用数学归纳法证明。
(i)当时,由(Ⅰ)问知是整数,结论成立。
(ii)假设当()时结论成立,即都是整数。
由,得。
即。
所以,。
所以。
即。
由都是整数,且,,所以也是整数。
即时,结论也成立。
由(i)(ii)可知,对于一切,的值都是整数。 ………13分
知识点
已知函数 的振幅为2,其图象的相邻两个对称中心之间的距离为 。
(1)若 ,求sina;
(2)将函数 的图象向右平移 个单位得到 的图象,若函数
是在 上有零点,求实数 的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知e是自然对数的底数,函数的零点为a,函数的零点为b,则下列不等式中成立的是
正确答案
解析
略
知识点
已知函数是定义域为的偶函数. 当时, 若关于的方程有且只有7个不同实数根,则实数的取值范围是 。
正确答案
解析
略
知识点
设,,若是函数的一个零点,且函数的最大值为。
(1)求实数和的值;
(2)中,设、、所对的边分别为、、,若,且,求的值。
正确答案
见解析。
解析
(1),
因为是的一个零点,即,,
易知的最大值为,从而依题意有,综上,
(2)由(Ⅰ)可知,于是,
由正弦定理及余弦定理有:,
故,又,
于是,
,即。
知识点
已知函数则函数的零点为
正确答案
解析
略
知识点
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