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题型:简答题
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简答题 · 18 分

定义区间的长度均为,其中

(1)已知函数的定义域为,值域为,写出区间长度的最大值与最小值。

(2)已知函数的定义域为实数集,满足 (的非空真子集) . 集合, ,求的值域所在区间长度的总和,

(3)定义函数,判断函数在区间上是否有零点,并求不等式解集区间的长度总和。

正确答案

(1)(2)(3)5

解析

(1)

解得

,解得

画图可得:区间长度的最大值为

最小值为.

(2)

所以时,

所以值域区间长度总和为

(3)由于当时,取

所以方程在区间内有一个解

考虑函数,由于当时,,故在区间内,不存在使的实数

对于集中的任一个,由于当时,

,取

又因为函数在区间内单调递减,

所以方程在区间内各有一个解;

依次记这个解为

从而不等式的解集是,故得所有区间长度的总和为

  ………①

进行同分处理,分子记为

    如将展开,其最高项系数为,设

   ……②

又有   …………③

对比②③中系数,

可得:

知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法函数零点的判断和求解
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

函数f(x)=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为(  )

A0

B1

C2

D3

正确答案

解析

知识点

函数零点的判断和求解
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

函数的零点所在区间是(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

,选A

知识点

函数零点的判断和求解
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数

(1)求函数的单调区间;

(2)如果关于x的方程有实数根,求实数的取值集合;

(3)是否存在正数,使得关于x的方程有两个不相等的实数根?如果存在,求满足的条件;如果不存在,说明理由.

正确答案

见解析。

解析

(1)函数的定义域是

求导得

,由

因此 是函数的增区间;

(-1,0)和(0,3)是函数的减区间

(2)因为

所以实数m的取值范围就是函数的值域

∴当x=2时取得最大值,且

又当x无限趋近于0时,无限趋近于无限趋近于0,

进而有无限趋近于-∞.因此函数的值域是 ,即实数m的取值范围是

(3)结论:这样的正数k不存在。

下面采用反证法来证明:假设存在正数k,使得关于x的方程

有两个不相等的实数根,则

根据对数函数定义域知都是正数。

又由(1)可知,当时,

==

再由k>0,可得

由于 不妨设

由①和②可得

利用比例性质得 

由于上的恒正增函数,且

上的恒正减函数,且

,这与(*)式矛盾。

因此满足条件的正数k不存在

知识点

函数单调性的性质函数零点的判断和求解导数的几何意义导数的运算
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知是函数的两个零点,其中常数,设)。

(1)用表示;

(2)求证:;

(3)求证:对任意的

正确答案

见解析

解析

(1)由

因为,所以

。 …………3分

(2)由,得

,同理,

所以

所以。……………8分

(3)用数学归纳法证明。

(i)当时,由(Ⅰ)问知是整数,结论成立。

(ii)假设当)时结论成立,即都是整数。

,得

所以

所以

都是整数,且,所以也是整数。

时,结论也成立。

由(i)(ii)可知,对于一切的值都是整数。    ………13分

知识点

函数零点的判断和求解分析法的思考过程、特点及应用综合法的思考过程、特点及应用
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数 的振幅为2,其图象的相邻两个对称中心之间的距离为

(1)若 ,求sina;

(2)将函数 的图象向右平移 个单位得到 的图象,若函数

是在 上有零点,求实数 的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

知识点

函数零点的判断和求解函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知e是自然对数的底数,函数的零点为a,函数的零点为b,则下列不等式中成立的是

A

B

C

D

正确答案

A

解析

知识点

指数函数的图像与性质对数函数的图像与性质函数零点的判断和求解
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题型:填空题
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填空题 · 4 分

已知函数是定义域为的偶函数. 当时,  若关于的方程有且只有7个不同实数根,则实数的取值范围是       。

正确答案

解析

知识点

函数奇偶性的性质函数零点的判断和求解
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

,若是函数的一个零点,且函数的最大值为

(1)求实数的值;

(2)中,设所对的边分别为,若,且,求的值。

正确答案

见解析。

解析

(1)

因为的一个零点,即

易知的最大值为,从而依题意有,综上

(2)由(Ⅰ)可知,于是

由正弦定理及余弦定理有:

,又

于是

,即

知识点

函数零点的判断和求解三角函数中的恒等变换应用正弦定理的应用三角函数的最值平面向量数量积的运算
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知函数则函数的零点为

A和1

B和0

C

D

正确答案

D

解析

知识点

函数零点的判断和求解
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