函数零点的判断和求解
共205题

· 函数零点的判断和求解

函数零点的判断和求解
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题型：简答题

简答题 · 12 分

31.定义符号函数. 已知

（1）求关于的表达式，并求的最小值.

（2）当时，函数在上有唯一零点，求的取值范围.

（3）已知存在，使得对任意的恒成立，求的取值范围.

正确答案

最小值为；；

解析

试题分析：本题属于函数中较难的问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）直接按照步骤来求

（2）要注意转化后的定义域．

（1），

所以最小值为。

（2）当时，。当时，。

所以由。

令。在同一坐标系中分别作出这两个函数在上的图像。

由图像可得

（3）当时，.由得，

所以且对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

从而只需求在的最大值和在的最小值，而且要满足。

在上单调递增，所以。

对于函数，时，

（i）

（ii）

（iii）

综上，。

考查方向

本题考查了绝对值函数及零点的知识．

解题思路

本题考查绝对值函数，解题步骤如下：

1、利用定义表示函数求解。

2、利用函数图像求解。

3、利用分类讨论求解。

易错点

利用定义表示函数时容易出错。

知识点

函数的最值及其几何意义函数零点的判断和求解不等式恒成立问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

13．已知函数,则方程恰有两个不同的实根时，实数a的

取值范围是___________

正确答案

解析

∵，∴，设切点为，∴切线方程为，

∴，与相同，∴，，∴，∴.

当直线与平行时，直线为，

当时，，

当时，，所以与在，上有2个交点，所以直线在和之间时与函数有2个交点，所以，

考查方向

本题主要考查了函数与方程的知识，运用导数解决函数问题的能力，以及数形结合思想的应用。

解题思路

本题考查运用导数解决函数的能力，解题步骤如下：先求导，找函数的切线方程，再利用零点的判定方法，找到a的取值范围。

易错点

本题必须注意审题，忽视则会出现错误。

知识点

函数零点的判断和求解

题型：填空题

填空题 · 4 分

6．若函数的零点个数为4，则实数的取值范围为___________．

正确答案

解析

∵的零点个数为4

∴方程即有4个不同的解

∴函数与的图像有4个交点

由图可知

∴．

考查方向

本题主要考查函数的性质，考查数形结合、函数与方程的思想，是中档题，在近几年各省市的高考中出现频率很高，常将函数的几个性质结合在一起进行命题．

解题思路

作出函数与的图像，观察两个图像四个交点时的情形，数形结合，求解的取值范围．

易错点

对函数零点概念的不理解，或者不能将函数零点个数转化为两个函数图像四个交点来求解．

知识点

函数零点的判断和求解

题型：单选题

单选题 · 5 分

10．设函数f(x）=，若关于x的方程[f(x)]3一a|f(x)|+2=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是（）

A(0,1)

B(1,3)

C(一1,3)

D(3,+∞)

正确答案

解析

本题属于函数中的零点问题，题目的难度较大。注意对函数f(x)的值域的分析．

考查方向

本题主要考查了函数的零点问题,在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与基本初等函数图像、不等式含参问题等知识点交汇命题。

解题思路

无

易错点

本题易在含参的讨论上发生错误。

知识点

函数零点的判断和求解

题型：简答题

简答题 · 16 分

20．已知为实常数，函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个不同的零点；

①求实数的取值范围；

②求证：.

正确答案

见解析

解析

（1）的定义域为．其导数．

①当时，，函数在上是增函数；

②当时，在区间上，；在区间上，．

所以在是增函数，在是减函数.

（2）①由（I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点;

当时，在是增函数，在是减函数，此时为函数的最大值，当时，最多有一个零点，

所以，解得，

此时，，且，

令，则，

所以在上单调递增，所以，即

所以的取值范围是

②证法一：

下面证明：当时， .

设，则 .

在上是增函数，所以当时， .

即当时，..

②证法二：

令

则：，

所以函数在区间上为减函数.

,则,又

于是.

又由(1)可知 .即

考查方向

本题主要考查了导数的应用——利用导数求函数单调性，根据函数的零点求参数的取值范围。

解题思路

1利用导数求函数单调性，2根据函数的零点求参数的取值范围

3构造函数求两个零点和的范围

易错点

本题必须注意函数的定义域，以及对参数进行讨论，否则求解错误。

知识点

函数单调性的判断与证明函数零点的判断和求解导数的运算

继续学习学习下一知识点

下一知识点 : 二次函数的零点问题

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