热门试卷

本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）直接按照步骤来求；

（2）要注意对参数的讨论．

（1），

因为f(x)定义域为（0，+∞），

所以ax2-2x+a=0有正根且不为等根。

显然a≠0,由x1x2=1>0.得Δ>0且x1+x2>0,所以  0<a<1 。

（2）由上知，，

因为x∈（0，+∞），①若a≤0,则<0恒成立，所以f(x)在（0，+∞）单调递减，因为f(1)=0,所以f(x)的零点唯一；

②若a≥1,则≥0恒成立，所以f(x)在（0，+∞）单调递增，因为f(1)=0,所以f(x)的零点唯一；

③若0<a<1,记x1,x2分别为ax2-2x+a=0的两根，且x1<1<x2,且f(x)在（0，x1）单调递增，在（x1，x2）单调递增，（x2，+∞）单调递增。

因为f(1)=0,所以f(x1)>0，f(x2)<0.当x∈（0，x1）时，取

显然，>0，

所以h(a)在（0，1）单调递增，所以，

故f(x)在有一个零点；因为，

则f(x)在有一个零点；

综上可知：当a≤0或a≥1时，有唯一零点；当0<a<1时，有三个零点．