函数零点的判断和求解
共205题

· 函数零点的判断和求解

函数零点的判断和求解
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数，(其中).

25.如果函数和有相同的极值点，求的值，并直接写出函数的单调区间；

26.令，讨论函数在区间上零点的个数。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）或；

当时,的递增区间为,,递减区间为

当时,的递增区间为,递减区间为. ;

解析

(Ⅰ),则,

令,得或,而二次函数在处有极大值,

所以或,解得或；

当时,的递增区间为,,递减区间为.

当时,的递增区间为,递减区间为.

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，判断函数零点的个数等知识。意在考查考生的综合解决问题的能力和分类讨论的思想。

解题思路

先求导后得到原函数的极值点后结合二次函数即可求得a的值，后面利用常用的方法求单调区间；

易错点

不理解函数和有相同的极值点导致无法求出a的值；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）当或时，函数有唯一零点；

当时，函数有两不相等的零点。

解析

(Ⅱ)

令,,

当即时，无实根，故的零点为，满足题意，

即函数有唯一零点；

当即或时,

若，则的实数解为，故在区间上有唯一零点；

若，则的实数解为，故在区间上有两零点，或；

当即或时，

若，由于，

此时在区间上有一实数解，故在区间上有唯一零点；

若时，由于，

当即时，数形结合可知在区间上有唯一实数解，

故在区间上有唯一零点；

若即时，由于的对称轴为，故，

又且，

所以在区间上有两个不等零点.

综上，当或时，函数有唯一零点；

当时，函数有两不相等的零点。

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，判断函数零点的个数等知识。意在考查考生的综合解决问题的能力和分类讨论的思想。

解题思路

按照判别式分类讨论各种情况下零点的个数。

易错点

不会确定分类的标准。

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数

27.设

28.证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.【考查方向】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.

解析

由已知，函数的定义域为，

，

所以.

当时，在区间上单调递增，

在区间上单调递减；

当时，在区间上单调递增.

解题思路

首先对函数求导，得，然后再求导得.利用导数的符号即得其单调性.此题分和两种情况讨论.

易错点

不会确定分类的标准导致出错或不分类；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

由，解得.

令.

则，.

故存在，使得.

令，.

由知，函数在区间上单调递增.

所以.

即.

当时，有，.

由（1）知，函数在区间上单调递增.

故当时，有，从而；

当时，有，从而；

所以，当时，.

综上所述，存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.

考查方向

本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.

解题思路

要使得在区间内恒成立，且在内有唯一解，则这个解应为极小值点，且极小值为0.所以我们应考虑求的极小值.由，解得，代入得.是否存在令使得呢？为此，令.

因为，故存在，使得.接下来的问题是，此时的是否满足呢？令.由知，函数在区间上单调递增.所以.即.

当时，有.由（1）知，函数在区间上单调递增.

故当时，有，从而；当时，有，从而；所以，当时，.

易错点

找不到解决问题的思路导致无法入手。

题型：填空题

填空题 · 5 分

15.若函数存在唯一的零点，则实数t的取值范围为 ▲ .

正确答案

解析

∵当x=0时无零点，

考查方向

本题主要考察了导数的加法与减法法则，函数单调性的判断与证明，函数单调性的性质，该题比较综合，属于中档题

解题思路

1）对函数当x=0时进行讨论不成立

2）当

3）讨论进行讨论单调性

4）借助单调性及其最值得出结论

易错点

本题易错在分类不清或者对单调性判断错误

知识点

函数零点的判断和求解

题型：单选题

单选题 · 5 分

10．已知定义在R上的奇函数y＝f（x）的图像关于直线x＝1对称，当－1≤x＜0时，f（x）＝－，则方程f（x）－＝0在（0，6）内的零点之和为

B10

C12

D16

正确答案

解析

根据性质做出图像

共有4个零点ABCD，且AB关于x=1对称

CD关于x=5对称

考查方向

本题考察了函数的奇偶性，对称性，考察了函数的零点，该题属于综合类题，较难

解题思路

1)根据函数性质得出函数在（0，6）上的图像，

2)数形结合得到零点

3)根据对称性得出零点间关系

易错点

主要易错于函数图像不能有效的画出

知识点

函数零点的判断和求解

题型：单选题

单选题 · 5 分

11．已知函数定义在R上的奇函数，当时，，给出下列命题：

①当时，

②函数有2个零点

③的解集为

④，都有

其中正确命题个数是（）

正确答案

解析

因为f(x)为R上的奇函数，设x>0，-x<0,则，所以1错误，因为，所以f(x)有三个零点，所以2错误，，因为当，

当所以所以解集为，所以3正确。

同理判断4正确，所以选B

考查方向

函数的性质及应用；导数的综合应用；函数奇偶性的性质

解题思路

根据函数的相关性质，结合子题目，依次判断

易错点

求导错误；

知识点

函数性质的综合应用函数零点的判断和求解

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