空间几何体的结构特征
共964题

· 空间几何体的结构特征

空间几何体的结构特征
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题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，菱形中，，其对角线的交点为，现将沿对角线向上翻折，使得，在四面体中，在上移动，点在上移动，且。

（1）求线段的最大值与最小值；[来源:学.科.网Z.X.X.K]

（2）当线段的长最小时，求异面直线与所成角的大小。

正确答案

见解析

解析

（1）以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，……1分

由已知可求得，，…2分

。 ………………………2

所以，当时，线段的最小值为，……1分

（2），， ……2分

……3分

所以， ……………………1分

知识点

空间几何体的结构特征

题型：简答题

简答题 · 14 分

在中，角、、的对边分别为、、，已知， , 且.

（1）求角的大小；

（2）若，面积为，试判断的形状，并说明理由.

正确答案

见解析

解析

（1）由得，故, ……2分

由正弦定理得 ……4分

……5分

……7分

（2）即　……10分

又, ……12分

故所以，为等边三角形。 ……14分

知识点

空间几何体的结构特征

题型：简答题

简答题 · 13 分

设函数.

（1）求的单调区间与极值；

（2）是否存在实数a,使得对任意的，当时恒有

成立.若存在，求a的范围，若不存在，请说明理由.

正确答案

见解析。

解析

（1）.令，得；……………………………………………………1分

列表如下

的单调递减区间是，单调递增区间是.………………………………………………4分

极小值= ……………………………………………………5分

（2）设，由题意，对任意的，当时恒有，即在上是单调增函数.………………………………………………………………………………………………7分

…………………………………………8分

令

……………………………………………………………………………… …………10分

若，当时，，为上的单调递增函数，

,不等式成立. …………………………………………………………11分

若，当时，，为上的单调递减函数，

，，与,矛盾…………………………………………12分

所以，a的取值范围为.……………………………………………………………………………………13分

知识点

空间几何体的结构特征

题型：简答题

简答题 · 12 分

在长方体中，，经过。，，三点的平面截去长方体的一个角后，留下几何体的体积为120。

（1）求棱的长；

（2）求点到平面的距离。

正确答案

见解析

解析

（1）设，

∴…………4分

（2）如图建立空间直角坐标系，

则，，，。

设平面的法向量为，，

，由得 8分

又， 12分

知识点

空间几何体的结构特征

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知在正四棱锥－中（如图），高为1 ，其体积为4 ，求异面直线与所成角的大小.

正确答案

见解析

解析

设异面直线与所成角的大小，底边长为,

则依题意得 ……4分

故，

……7分

∥，故直线与所成角的大小为所求 ……9分

……12分

知识点

空间几何体的结构特征

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知，，且。

（1）将表示为的函数，并求的单调增区间；

（2）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，，求的面积。

正确答案

见解析。

解析

（1）由得, …….………….……….…2分

即…………….………………4分

∴， ………………………………………………………………5分

∴，即增区间为…………………………………6分

（2）因为，所以，， ………………………………………7分

∴……………………………………………………………………………………8分

因为，所以。 ………………………………………………………………………9分

由余弦定理得：，即 …………………………10分

∴，因为，所以 …………………………………………11分

∴. …………………………………………………………………………………12分

知识点

空间几何体的结构特征

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知四棱锥的底面是等腰梯形，且

分别是的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

正确答案

见解析。

解析

证明：（1）分别是的中点.

是的中位线，---------------------------------2分

由已知可知-------------------------3分

----------------------------4分

----------------------------------5 分

----------------------------------------------------6分

（2）以所在直线为x轴，y轴，z轴，建系

由题设，，------------------------------7分

---------------------------------8分

设平面的法向量为

可得，-----------------------------10分

平面的法向量为

设二面角为，

--------------------------------------------------------12分

知识点

空间几何体的结构特征

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，长方体中，，。

（1）若分别是、中点，

求证：EF//平面；

（2）求二面角的正弦值。

正确答案

见解析。

解析

（1）

连接，则长方体中，

，，

、分别是和的中点

（2）解：

连接设交于，连接

正方形中，又平面

平面

过作于，作于，连接、

平面

就是二面角

，

二面角的正弦值是

知识点

空间几何体的结构特征

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图所示, 直四棱柱的侧棱长为, 底面是边长, 的矩形,为的中点,

（1）求证: 平面；

（2）求点到平面的距离。

正确答案

见解析

解析

（1）证明: 由, ,……2分

平面, ……4分

即DE垂直于平面EBC中两条相交直线,

因此DE平面EBC, ……7分

（2）解1: 结合第(1)问得，由，……8分

，，所以， ……10分

又由得 ……12分

故C到平面BDE的距离为 ……14分

解2: 如图建立直角坐标系,

则,, , , ……9分

因此平面EBD的一个法向量可取为,

由, 得, ……11分

因此C到平面BDE的距离为.

知识点

空间几何体的结构特征

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图1，的直径AB=4，点C、D为上两点，且CAB=45°，DAB=60°，F为弧BC的中点，沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直，如图2。

（1）求证：OF平面ACD；

（2）求二面角C—AD—B的余弦值；

（3）在弧BD上是否存在点G，使得FG平面ACD?若存在，试指出点G的位置；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（方法一）：证明：（1）如右图，连接，

，. …1分又为弧的中点，，. ………平面，平面，

平面。 …解：（2）过作于，连。

，平面⊥平面。 ⊥平面，又平面，，平面，，则∠是二面角的平面角，…，， . 由⊥平面，平面，得为直角三角形，，==。 ………8分

（3）取弧的中点，连结、，则

…平面，平面平面//平面. ……………

因此，在弧上存在点，使得//平面，且点为弧的中点，…12分

（方法二）：证明：

（1）如图，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以为原点，建立空间直角坐标系则，…… 1分，

点为弧的中点，点的坐标为，。

（2），点的坐标，。

设二面角的大小为，为平面的一个法向量。

由有即

取，解得，。 =。 ………………………………5分

取平面的一个法向量=， ………………………………………………………6分

。 ……………………………8分

（3）设在弧上存在点,

,由（2）知平面的一个法向量为=。

= ① ……………9分

又因为 ②由①②两式联立解得，…11分，因为，所以,则为弧的中点，因此，在弧上存在点，使得//平面，且点为弧的中点。 ………12分

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