- 解三角形的实际应用
- 共67题
如图,ABCD是边长为10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事,两艘海事搜救船在处同时出发,沿直线、向前联合搜索,且(其中点、分别在边、上),搜索区域为平面四边形围成的海平面.设,搜索区域的面积为.
(1)试建立与的关系式,并指出的取值范围;
(2)求的最大值,并求此时的值.
正确答案
(1)(2)
解析
(1)
(2)令
,(当且仅当时,即,等号成立)…12分
当时,搜索区域面积的最大值为(平方海里)
此时,
知识点
已知分别为三个内角的对边,
(1)求
(2)若,的面积为;求。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)由正弦定理得:
(2)
解得:
知识点
在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA=,
sinB=cosC。
(1)求tanC的值;
(2)若a=,求ABC的面积。
正确答案
(1) ;(2) 。
解析
本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点。
(1)∵cosA=>0,∴sinA=,
又cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA
=cosC+sinC。
整理得:tanC=。
(2)由图辅助三角形知:sinC=
又由正弦定理知:,
故。 (1)
对角A运用余弦定理:cosA=。 (2)
解(1) (2)得: or b=(舍去)。
∴ABC的面积为:S=。
知识点
如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射击线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角的大小.若 ,,,则的最大值是 (仰角 为直线AP与平面ABC所成角)
正确答案
解析
∵AB=15cm,AC=25cm,∠ABC=90°,∴BC=20cm,
过P作PP′⊥BC,交BC于P′,
1当P在线段BC上时,连接AP′,则
设BP′=x,则CP′=20-x,( )
由∠BCM=30°,得
在直角△ABP′中,
∴
令,则函数在x∈[0,20]单调递减,
∴x=0时, 取得最大值为
2当P在线段CB的延长线上时,连接AP′,则
设BP′=x,则CP′=20+x,( )
由∠BCM=30°,得
在直角△ABP′中,
∴,
令,则,
所以,当 时 ;当 时
所以当 时
此时时, 取得最大值为
综合1,2可知 取得最大值为
知识点
气象台预报,距离岛正东方向300km的处有一台风形成,并以每小时30km的速度向北偏西的方向移动,在距台风中心处不超过270km以内的地区将受到台风的影响。
问:(1)从台风形成起经过3小时,岛是否受到影响(精确到0.1km)?
(2)从台风形成起经过多少小时,S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?(精确到0.1小时)
正确答案
(1)是(2)4.9小时
解析
(1) 设台风中心经过3小时到达点B,由题意,在中,SA=300,AB=90,,根据余弦定理,
<270 。
所以,经过3小时S岛已经受到了影响.
(2)可设台风中心经过t小时到达点B,由题意得,
,在中,SA=300,AB=30t, 由余弦定理,
若S岛受到台风影响,则有 ,而,
化简整理得,解此不等式得,即 的范围大约在2.5小时与7.4小时之间 。 所以从台风形成起,大约在2.5小时S岛开始受到影响,约持续4.9小时以后影响结束.
知识点
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