- 弧度制的应用
- 共31题
已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为__________。
正确答案
2
解析
(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝n＝
知识点
设数列{an}：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，
（1）求集合P11中元素的个数；
（2）求集合P2 000中元素的个数。
正确答案
（1）5； （2） 1 008
解析
解：（1）由数列{an}的定义得a1＝1，a2＝－2，a3＝－2，a4＝3，a5＝3，a6＝3，a7＝－4，a8＝－4，a9＝－4，a10＝－4，a11＝5，所以S1＝1，S2＝－1，S3＝－3，S4＝0，S5＝3，S6＝6，S7＝2，S8＝－2，S9＝－6，S10＝－10，S11＝－5，从而S1＝a1，S4＝0×a4，S5＝a5，S6＝2a6，S11＝－a11，所以集合P11中元素的个数为5.
（2）先证：Si（2i＋1）＝－i（2i＋1）（i∈N*）。
事实上，①当i＝1时，Si（2i＋1）＝S3＝－3，－i（2i＋1）＝－3，故原等式成立；
②假设i＝m时成立，即Sm（2m＋1）＝－m（2m＋1），则i＝m＋1时，S（m＋1）（2m＋3）＝Sm（2m＋1）＋（2m＋1）2－（2m＋2）2＝－m（2m＋1）－4m－3＝－（2m2＋5m＋3）＝－（m＋1）（2m＋3）。
综合①②可得Si（2i＋1）＝－i（2i＋1），于是S（i＋1）（2i＋1）＝Si（2i＋1）＋（2i＋1）2＝－i（2i＋1）＋（2i＋1）2＝（2i＋1）（i＋1）。
由上可知Si（2i＋1）是2i＋1的倍数，而ai（2i＋1）＋j＝2i＋1（j＝1,2，…，2i＋1），所以Si（2i＋1）＋j＝Si（2i＋1）＋j（2i＋1）是ai（2i＋1）＋j（j＝1,2，…，2i＋1）的倍数，又S（i＋1）（2i＋1）＝（i＋1）（2i＋1）不是2i＋2的倍数，而a（i＋1）（2i＋1）＋j＝－（2i＋2）（j＝1,2，…，2i＋2），所以S（i＋1）（2i＋1）＋j＝S（i＋1）（2i＋1）－j（2i＋2）＝（2i＋1）（i＋1）－j（2i＋2）不是a（i＋1）（2i＋1）＋j（j＝1,2，…，2i＋2）的倍数，故当l＝i（2i＋1）时，集合Pl中元素的个数为1＋3＋…＋（2i－1）＝i2，于是，当l＝i（2i＋1）＋j（1≤j≤2i＋1）时，集合Pl中元素的个数为i2＋j.
又2 000＝31×（2×31＋1）＋47，故集合P2 000中元素的个数为312＋47＝1 008.
知识点
函数
正确答案
π
解析
函数
知识点
如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.
正确答案
见解析
解析
证明：连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，
所以∠ADO＝∠ACB＝90°。
又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.
所以
又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.
知识点
设变量x，y满足约束条件
正确答案
解析
作约束条件
知识点
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