- 圆的切线的性质定理的证明
- 共19题
10．如图，在
正确答案
1
解析
解析已在路上飞奔，马上就到！
知识点
22．如图，AB为圆O的直径，BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．
（Ⅰ）求证：BD平分∠CBE;
（Ⅱ）求证：
正确答案
见解析
解析
证明：
（I）由弦切角定理得到∠DBE=∠DAB，又∠DBC=∠DAC，∠DAB=∠DAC，所以∠DBE=∠DBC，即BD平分∠CBE.
（Ⅱ）由（I）可知BE=BH，所以
所以
考查方向
解题思路
利用弦切角定理找出与其相等的角，并进行相等角间转化;利用相似三角形的判定定理判定△AHC∽△AEB;利用相似三角形对应边成比例，证明有关问题.
易错点
辅助线的作法，相似条件找不准
知识点
22．选修4－1：几何证明选讲
如图，已知：
（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB ；
（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．
正确答案
（Ⅰ）略
（Ⅱ）
解析
（Ⅰ）证明：因为AB是直径，
所以∠ACB＝90°
又因为F是BD中点，所以∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB
因此∠BCF=∠CAB
（Ⅱ）解：直线CF交直线AB于点G，
由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC
可证得：
且AB＝BG
由切割线定理得：（1＋FG）2＝BG×AG=2BG2 ……①
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2 ……②
由①、②得：FG2-2FG-3=0
解之得：FG1＝3，FG2＝－1（舍去）
所以AB＝BG＝
所以⊙O半径为
考查方向
解题思路
第一问：由已知条件得FC=FB=FE得到∠BCF=∠CBF=∠CAB
第二问：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，继而证得：
易错点
1、第一问想到弦切角定理，进而向证明CF与圆相切，虽然可以证明，但是，但是过程稍烦一些。
2、第二问没有注意题中的已知条件，而运用
知识点
13．如图，
正确答案
3
解析
由题意可得，圆的半径为2，
设PT与AB交于点M,因为角BTC=120度，
所以角COB等于角BTM等于60度。
角BMT等于30度，
所以可知，
因为
所以
所以
由切割线定理可知
考查方向
解题思路
先求出MC的值，然后利用切割线定理求PQ和PB的乘积
易错点
相关性质混淆
知识点
22． 如图，在直角
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）若
正确答案
（Ⅰ）略
（Ⅱ）
解析
试题分析：本题是有关直线与圆的问题，难度不大。在解题中注意结合切线的性质和勾股定理等知识进行解决。
（Ⅰ）
连结
因为
因为
所以
所以
（Ⅱ）由已知
所以
因为
因为
所以
考查方向
解题思路
本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理等基础知识。解题步骤如下：
（Ⅰ）利用四点共圆的判定定理，证明
（Ⅱ）利用切线性质和勾股定理及第一问的结论，求出
易错点
第二问计算中，不易想到利用第一问
知识点
22.已知四边形ABCD内接于⊙O，AD：BC=1：2，BA、CD的延长线交于点E，且EF切⊙O于F．
（Ⅰ）求证：EB=2ED；
（Ⅱ）若AB=2，CD=5，求EF的长．
正确答案
（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）EF=2
解析
（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAD=∠C，又∵∠DEA=∠BEC，∴△AED∽△CEB，
∴ED：EB=AD：BC=1：2，即EB=2ED；
（Ⅱ）∵EF切⊙O于F．∴EF2=ED•EC=EA•EB，设DE=x，则由AB=2，CD=5得：
x（x+5）=2x（2x﹣2），解得：x=3，∴EF2=24，即EF=2
考查方向
解题思路
本题考查了圆内接四边形的性质、圆的切割线定理及
（Ⅰ）主要用三角形相似进行转化
（Ⅱ）要用切割线定理进行转化得结果。
易错点
圆的切割线定理及
知识点
7. 如图，
正确答案
解析
由题可知，CD•DT=AD•DB，解得圆的半径CT=2r=11，由PT2=PB•PA，解得PB=14.
A选项不正确，B选项不正确，C选项不正确，所以选D选项。
考查方向
解题思路
利用切割线定理求解即可.
易错点
本题易在利用切割线定理和割线定理时发生错误。
知识点
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，则BC的长为 。
正确答案
解析
略
知识点
选修41：几何证明选讲
如图14，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
(1)BE＝EC；
(2)AD·DE＝2PB2.
正确答案
(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，
故∠PAD＝∠PDA.
因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，
∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，
∠DCA＝∠PAB，
所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.
因此BE＝EC.
(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.
因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.
由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，
所以AD·DE＝2PB2.
解析
(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，
故∠PAD＝∠PDA.
因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，
∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，
∠DCA＝∠PAB，
所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.
因此BE＝EC.
(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.
因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.
由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，
所以AD·DE＝2PB2.
知识点
22. 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C
(1)证明：DB = DC;(2)设圆的半径为1，BC=
正确答案
（2）
解析
（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．
又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．
∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．
（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，
∴BG=
从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．
∴CF⊥BF．
∴Rt△BCF的外接圆的半径=
考查方向
本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力了与圆有关的比例线段
解题思路
（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．
（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=
易错点
弦切角定理不会灵活应用
知识点
扫码查看完整答案与解析