圆的切线的性质定理的证明
共19题

· 圆的切线的性质定理的证明

圆的切线的性质定理的证明
共19题

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题型：简答题

简答题 · 10 分

21．（选修4—1：几何证明选讲）

如图，为⊙的直径，直线与⊙相切于点，，，、为垂足，连接. 若，，求的长.

正确答案

解析

试题分析：本题属于平面几何中的基本问题，通过三角形相似得到角相等，再由全等三角形的性质得到边相等，进而求出BD.

因为与相切于，所以，

又因为为的直径，所以.

又，所以，所以，所以.

又，，所以.

所以，所以，

又，所以.

考查方向

本题考查了三角形相似和三角形全等的判定和性质、直线与圆相切的转化。

解题思路

判定三角形相似和全等的方法要牢记，要借助图形判断，要结合题意找出需要的条件。

易错点

找不到角相等的转化，从而在三角形相似和三角形全等中造成条件不足。

知识点

圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

题型：简答题

简答题 · 10 分

选修4—1：几何证明选讲

如图，正方形边长为2，以为圆心，为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点．

28.求证：；

29．求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析．

解析

试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，所以EA为圆D的切线．得；另外圆O以BC为直径，所以EB是圆O的切线．得，因此．

考查方向

本题考查了相交弦定理，射影定理等知识点。

解题思路

直接利用相交弦定理即可证明．

易错点

不熟悉射影定理导致本题失分。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

．

解析

试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：连结，因为BC为圆O直径，所以．在直角△中，可求得．由射影定理得．

考查方向

本题考查了相交弦定理，射影定理等知识点。

解题思路

利用相射影定理求的值．

易错点

不熟悉射影定理导致本题失分。

题型：简答题

简答题 · 10 分

选修4—1；几何证明选讲

如图所示，圆的两弦和交于点，∥，交的延长线于点，切圆于点.

29.求证：△∽△；

30.如果，求的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

相似三角形、与圆有关的比例线段

解题思路

利用辅助线，做出相似三角形，根据相似求出相关线段的长

易错点

辅助线，三角形相似条件找不准

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

∽又因为为切线，则

所以，.

考查方向

相似三角形、与圆有关的比例线段

解题思路

利用辅助线，做出相似三角形，根据相似求出相关线段的长

易错点

辅助线，三角形相似条件找不准

题型：简答题

简答题 · 10 分

选修4—1：几何证明选讲

如图6，圆O的直径，P是AB延长线上一点，BP=2 ,割线PCD交

圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F.

28. 当时，求的度数；

29.求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

解：(Ⅰ) 连结BC，∵AB是圆O的直径 ∴则，

又，

，

∵；

考查方向

本题主要考查直径所对的圆周角是直角，四点共圆，切割线定理等知识，意在考查考生的逻辑推理能力和数形结合能力。

解题思路

找不到与之间的关系；

易错点

不会使用第（1）问的结论推导第（2）问；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）24；

解析

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，

∴D、C、E、F四点共圆，

∴,

∵PC、PA都是圆O的割线，∴，

∴=24.

考查方向

本题主要考查直径所对的圆周角是直角，四点共圆，切割线定理等知识，意在考查考生的逻辑推理能力和数形结合能力。

解题思路

无法发现D、C、E、F四点共圆导致不能使用割线定理。

易错点

不会使用第（1）问的结论推导第（2）问；

题型：简答题

简答题 · 10 分

如图，A、B是圆O上的两点,且AB的长度小于圆O的直径，

直线与AB垂于点D且与圆O相切于点C.若

27. 求证：为的角平分线;

28.求圆的直径的长度。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）略；

解析

(I)如图22-1，由切割线定理得

= ，为的角平分线

考查方向

本题主要考查切割线定理、弦切角定理、直径所对的圆周角是直角、相等的圆周角所对的弦长相等等知识，意在考查考生的逻辑推理能力和运算能力。

解题思路

先根据切割线定理求出，然后求出，后即可得到答案；

易错点

不会根据切割线定理求解；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）4

解析

(2）：如图22-2连结并延长交圆于点,连结,

设延长线上一点为,则AE为圆O直径，

直线与圆O相切于点C. ，

（等角的余角相等）

（相等的圆周角所对的弦相等）

圆的直径为4

考查方向

本题主要考查切割线定理、弦切角定理、直径所对的圆周角是直角、相等的圆周角所对的弦长相等等知识，意在考查考生的逻辑推理能力和运算能力。

解题思路

先证明，后根据勾股定理即可求得答案。

易错点

不会做辅助线导致无法求出正确答案。

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