三角函数中的恒等变换应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知角是的三个内角，是各角的对边，若向量,,且.（1）求的值；（2）求的最大值.

正确答案

解：（1）由,，

且，即.

∴,即,

∴.

（2）由余弦定理得

，而∵

由知： ,

当且仅当时取等号，

又,∴有最大值，

所以的最大值为.

解析

本题属于三角函数的基本问题，题目的难度是中等，本题的关键是：

（1）、向量的基本运算以及三角函数恒等变换的应用；

（2）、余弦定理与基本不等式之间的应用，一直是考试的热点问题,

考查方向

本题考查了向量运算、三角函数恒等变换、正弦定理和余弦定理的综合应用

易错点

向量的运算、余弦定理的应用，需要注意,基本不等式取等号时的条件

知识点

三角函数中的恒等变换应用余弦定理平面向量数量积的运算量积判断两个平面向量的垂直关系

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17. 在中，角、、的对边分别为、、，面积为，已知

（1）求证：；

（2）若，，求.

正确答案

（1）略；

（2）b=4．

解析

试题分析：本题属于解三角形中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）直接按照步骤来求

（2）要注意正弦定理的应用．

解：（1）由条件：，

由于：，

所以：，

即：

（2），

所以：，，

又：，

由，所以：，

所以：

考查方向

本题考查了解三角形的知识，涉及到正弦定理及倍角公式的应用，是高考题中的高频考点

易错点

正弦定理求面积时容易代成cosB。

知识点

三角函数中的恒等变换应用正弦定理余弦定理

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

16.已知函数（其中），若的一条对称轴离最近的对称中心的距离为

（I）求的单调递增区间；

（II）在中角A、B、C的对边分别是满足恰是的最大值，试判断的形状.

正确答案

解：(Ⅰ)因为

的对称轴离最近的对称中心的距离为

所以，所以，所以

解

得：

所以函数单调增区间为

(Ⅱ) 因为，由正弦定理，

得

因为

，所以

所以，所以

所以

根据正弦函数的图象可以看出，无最小值,有最大值，

此时，即,所以

所以为等边三角形

解析

见答案

考查方向

本题主要考查正弦定理和余弦定理的性质，属于基础题

解题思路

根据题意换成三角函数一般形式，然后根据函数最值判断，第二问求出ABC角度的大小进而判定三角形形状。

易错点

混淆两个定理的性质

知识点

正弦函数的单调性三角函数中的恒等变换应用正弦定理的应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．要得到y=sin2x- sin2x-cos2x的图象，只需将y=2sin2x的图象（）

A向左平移个单位

B向左平移个单位

C向右平移个单位

D向右平移个单位

正确答案

C

解析

试题分析：本题属于三角函数中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难。注意化简时对φ的选取．

考查方向

本题主要考查了三角函数的图象与性质,在近几年的各省高考题出现的频率非常高，常与三角恒等变形公式，函数单调性、周期性、对称型、奇偶性等知识点交汇命题。

解题思路

本题考查三角函数的图象与性质，解题步骤如下：

由题可知，函数解析式化简为y=2sin(2x-)=2sin2(x-)，故需要将函数y=2sin2x向右平移个单位。

易错点

本题易在公式化简上发生错误。

知识点

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换三角函数中的恒等变换应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9．化简：4sin40°-tan40°等于（）

A1

B

C

D2

正确答案

B

解析

试题分析：本题属于三角函数中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难。注意化简时对两角和差公式的选取．

考查方向

本题主要考查了三角函数的公式化简计算,在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与三角恒等变形公式等知识点交汇命题。

解题思路

本题考查三角函数的公式化简计算，解题步骤如下：

由题可知，函数解析式化简为(2sin80°-sin40°)/cos40°=[2cos(40°-30°)-sin40°]/cos40°=cos40°/cos40°=。

易错点

本题易在公式化简上发生错误。

知识点

三角函数的化简求值弦切互化三角函数中的恒等变换应用

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

15．已知函数，．

（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）设，若函数为奇函数，求的最小值。

正确答案

（Ⅰ），，；（Ⅱ）．

解析

试题分析：本题属于三角函数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按步骤来求，（2）要注意三角恒等变换的正确性；

（Ⅰ）解：

，

所以函数的最小正周期．

由，，

得，

所以函数的单调递增区间为，．

（注：或者写成单调递增区间为，．

（Ⅱ）解：由题意，得，

因为函数为奇函数，且，

所以，即，

所以，，

解得，，验证知其符合题意．

又因为，

所以的最小值为．

考查方向

本题主要考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质，三角函数的性质的考查主要分以下几类：

1．三角函数的定义域，

2．三角函数的单调性与最值，

3．三角函数的周期性，

4．三角函数的奇偶性或对称性．

解题思路

本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质，解题步骤如下：1．利用二倍角公式和配角公式将函数化成；2．利用正弦函数的周期公式求得函数的周期；3．利用整体思想和三角函数的单调性求其单调递增区间；4．由函数是奇函数，得到，再求角的取值。

易错点

1、第一问中的单调递增区间易错误写成集合的形式，或丢掉“”的注明；

2、第二问中易利用错误得到。

知识点

函数奇偶性的性质三角函数的周期性及其求法正弦函数的单调性三角函数中的恒等变换应用

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

16.已知函数，.

（Ⅰ）求函数的最小正周期.

（Ⅱ）若，求函数的单调增区间.

正确答案

（Ⅰ）函数的最小正周期

（Ⅱ）的增区间为，

解析

本题第二问特别要注意：一定要结合函数的定义域正确书写增区间．

，

所以函数的最小正周期.

（Ⅱ）解：由，，

得，

所以函数的单调递增区间为，.

所以当时，的增区间为，.

（注：或者写成增区间为，.

考查方向

本题以正、余弦的二倍角公式为背景，以求解型函数的最小正周期以及定义域内单调区间的问题为导向，重点考查辅助角公式的应用。为近几年各省市高考热点题型，本题把三角函数部分几个常考知识点进行了集中考查较好地体现了高考命题的思路和方向。

解题思路

本题主要考查正、余弦的二倍角公式及型函数的性质，解题步骤如下：

1、把展开进行化简，得出型函数；

2、由型函数最小正周期计算公式求解第一个问题；

3、最后通过单调区间的求法结合定义域解答第二问。

易错点

本题体现了三角函数部分的基本的解题思想方法，为学生非常熟悉的题型对于第二问可能由于思维定势审题不全忽略前提条件而错解；或是对单调区间的表达方式不正确如.而出错。

知识点

三角函数的周期性及其求法正弦函数的单调性三角函数中的恒等变换应用

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

17.在中，.

(1)求；

(2)若，求的最大值，并求此时角的大小.

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）由正弦定理知

即

（2）在中，且

即，当且仅当时，取得最大值1，

此时

考查方向

本题主要考查利用正（余）弦定理解三角形及其常用的三角恒等变换。

解题思路

（1）三角函数切化弦。

（2）第二问利用余弦定理结合基本不等式求解即可。

易错点

（1）三角公式不熟悉。

（2）第二问不会用基本不等式处理。

知识点

三角函数中的恒等变换应用正弦定理余弦定理利用基本不等式求最值

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.已知函数（＞0) 的最小正周期为，则f(x)在区间[0, ]上的值域为（）

A[0, ]

B[-,]

C[-,1]

D[-,]

正确答案

A

解析

∵的最小正周期是，

∴，即，

∵

∴，从而，

所以答案选A

考查方向

本题主要考查了三角函数的周期和值域

解题思路

利用利用辅助角公式，利用函数性质求值域

易错点

利用辅助角公式化简函数；求函数值域

知识点

三角函数的周期性及其求法正弦函数的定义域和值域三角函数中的恒等变换应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17.设函数.

（1）求函数的最小正周期和最值；

（2）若，其中A是面积为的锐角的内角，且，求边和的长．

正确答案

（1），最大值为，最小值为；

（2），．

解析

试题分析：本题属于三角函数的图像与性质及正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关三角函数的知识，即可解决本题，解析如下：

试题解析：（1），

∴函数f(x)的最小正周期.

当时，函数f(x)的最大值为；

当时，函数f(x)的最大值为.

（2）因为，即，

∴，∵A是面积为的锐角△ABC的内角，∴.

∵，∴AC=3.

由余弦定理得：，

∴.

考查方向

本题考查了两角和与差的正弦、三角函数的图象与性质、余弦定理、三角形的面积公式等知识点。

解题思路

（1）先用两角和与差的正弦化简的解析式，然后利用三角函数的图象与性质分别求得最小正周期和最值；

（2）先根据解析式求得角，从而由面积公式求得的长，再由余弦定理求得的长．

易错点

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用余弦定理三角函数的最值

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