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1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知函数,.

(1)讨论函数的单调区间;

(2)若函数处取得极值,对,恒成立,求实数的取值范围.

正确答案

(1)当时,的递减区间是,无递增区间;当时,的递增区间是,递减区间是

(2)

解析

(1)在区间上, .          ……………………1分

①若,则,是区间上的减函数;     ……………3分

②若,令.

在区间上, ,函数是减函数;

在区间上, ,函数是增函数;

综上所述,①当时,的递减区间是,无递增区间;

②当时,的递增区间是,递减区间是.     …………6分

(2)因为函数处取得极值,所以

解得,经检验满足题意.                                     …………7分

由已知       …………………8分

,则      …………………10分

易得上递减,在上递增,              …………………12分

所以,即。                   …………13分

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知函数.

(1)若曲线在点(1,0)处的切线斜率为0,求a,b的值;

(2)当,且ab=8时,求函数的单调区间,并求函数在区间[-2,-1]上的最小值。

正确答案

见解析

解析

(1)函数h(x)定义域为{x|x≠-a},…………………………………………………1分

, …………………………………………………3分

h(x)在点(1,0)处的切线斜率为0,

,解得……………………6分

(2)记(x)= ,则(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a),

ab=8,所以(x≠-a),

,

,得,或,    …………………………………………………8分

因为所以

故当,或时,,当时,

函数(x)的单调递增区间为

单调递减区间为,  ………………………………………………………10分

,,

①  当,即时, (x)在[-2,-1]单调递增,

(x)在该区间的最小值为, ………………………………………11分

②  当时,即,

(x)在[-2,单调递减, 在单调递增,

(x)在该区间的最小值为,………………………………………………12分

③当时,即时,

(x)在[-2,-1]单调递减, (x)在该区间的最小值为,………13分

综上所述,当时,最小值为;当时,最小值为;当时,最小值为.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知函的最大值为,最小值为,则的值为__.

正确答案

2

解析

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知函数的最小正周期是,那么正数(   )

A2

B1

C

D

正确答案

B

解析

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

设函数则下列结论错误的是(  )

Ad(x)的值域为{0,1}

Bd(x)是偶函数

Cd(x)不是周期函数

Dd(x)不是单调函数

正确答案

C

解析

A显然正确;

=D(x),∴D(x)是偶函数,B正确;

∵D(x+1)==D(x),∴T=1为其一个周期,故C错误;

∵D()=0,D(2)=1,D()=0,显然函数D(x)不是单调函数,D正确

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知f是有序数对集合上的一个映射,正整数数对在映射f下的象为实数z,记作. 对于任意的正整数,映射由下表给出:

__________,使不等式成立的x的集合是_____________.

正确答案

8;

解析

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知函数)。

(1)试讨论在区间上的单调性;

(2)当时,曲线上总存在相异两点,使得曲线在点处的切线互相平行,求证:.

正确答案

见解析

解析

(1)解:由已知.

,得.

因为,所以,且

所以在区间上,;在区间上,.

上单调递减,在上单调递增,         

(2)证明:由题意可得,当时,,且)。

 ,

所以.

因为,且,所以恒成立,

所以,又

所以,整理得.

,因为,所以上单调递减,

所以上的最大值为

所以.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数的图象恰好通过个整点,则称函数阶整点函数。有下列函数:

①     ;  ②  ③   ④

其中是一阶整点函数的是(     )

A①②③④

B①③④

C①④

D

正确答案

C

解析

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
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简答题 · 12     分

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD的中点。

(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1

(2)设(1)中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A-A1M-N的余弦值。

正确答案

见解析

解析

(1)如图,在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,

因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A1BC。

由已知,AB=AC,D是BC的中点,

所以,BC⊥AD,则直线l⊥AD。

因为AA1⊥平面ABC,

所以AA1⊥直线l.

又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,

所以直线l⊥平面ADD1A1.

(2)解法一:

连接A1P,过A作AE⊥A1P于E,过E作EF⊥A1M于F,连接AF.

由(1)知,MN⊥平面AEA1

所以平面AEA1⊥平面A1MN.

所以AE⊥平面A1MN,则A1M⊥AE.

所以A1M⊥平面AEF,则A1M⊥AF.

故∠AFE为二面角A-A1M-N的平面角(设为θ)。

设AA1=1,则由AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,有∠BAD=60°,AB=2,AD=1.

又P为AD的中点,

所以M为AB中点,且AP=,AM=1,

所以,在Rt△AA1P中,A1P=;在Rt△A1AM中,A1M=.

从而

.

所以sin θ=.

所以cos θ=.

故二面角A-A1M-N的余弦值为.

解法二:设A1A=1.如图,过A1作A1E平行于B1C1,以A1为坐标原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点A1重合)。

则A1(0,0,0),A(0,0,1)。

因为P为AD的中点,

所以M,N分别为AB,AC的中点。

故M,N.

所以=(0,0,1),=(,0,0)。

设平面AA1M的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),

故有

从而

取x1=1,则y1

所以n1=(1,,0)。

设平面A1MN的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),

故有

从而

取y2=2,则z2=-1,所以n2=(0,2,-1)。

设二面角A-A1M-N的平面角为θ,

又θ为锐角,

则cos θ=

.

故二面角A-A1M-N的余弦值为.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
|
填空题 · 5 分

____        __。

正确答案

3

解析

知识点

函数的概念及其构成要素
下一知识点 : 函数的基本性质
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