热门试卷

解：（1）      

∴

而，

∴                  

（2）由（1）得，，

于是，

即。       

当时，，

所以

即当时，取得最小值，

当时，取得最大值。 

（1），令，则。

当变化时，的变化情况如下表：

所以在区间内是增函数，在区间内是减函数。

函数在处取得极大值，且。   

（2）因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，

所以，于是。

记，则，，

当时，，从而，又，所以，

于是函数在区间上是增函数。

因为，所以，当时，，因此，

（3） ① 若，由（1）及,得,与矛盾；

②若，由由（1）及,得,与矛盾；

根据①，②可得，不妨设。

由（2）可知，所以。

因为，所以，又，由（1），在区间内是增函数，

所以　，即。 

（1）由

①     当时，则有函数在区间单调递增；

②     当时，,

函数的单调增区间为，单调减区间为。

综合①②的当时，函数的单调增区间为；

当时，函数的单调增区间为，单调减区间为。

（2）函数定义域为，又，令则

，故函数在上单调递减，在上单调递增。

，有由（1）知当时，对，有，即

当且趋向0时，趋向，随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢。故当且趋向时，趋向。得到函数的草图如图所示：

故①当时，函数有两个不同的零点；

②当时，函数有且仅有一个零点；

③当时，函数无零点

（3）由（2）知当时，，故对，先分析法证明：，要证只需证，即证，构造函数，故函数在单调递增，，则成立。

①当时，由（1）知，函数在单调递增，则在上恒成立。

②当时，由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，

故当时，，所以，则不满足题意。

综合①②得，满足题意的实数的取值范围

（1）依题意，知的定义域为.

当时， ，.

令，解得.

当时，；当时， 。

又，所以的极小值为，无极大值 . ……………………（3分）

（2） .

令，解得.　　　　　…………………………（4分）

若，令，得；令，得 .

若，

①当时，，令，得或；

令，得.

②当时，.

③当时，得，

令，得或；令，得.

综上所述，当时，的递减区间为，递增区间为.

当时，的递减区间为；递增区间为.

当时，递减区间为.当时，的递减区间为，递增区间为.　 …………………………（9分）

（3）当时，，

由，知时， . ， 。

依题意得： 对一切正整数成立. 　……………（11分）

令 ，则（当且仅当时取等号）。

又在区间单调递增，得，

故，又为正整数，得，

当时，存在，，对所有满足条件.所以，正整数的最大值为32. 　　　　…………………………………（14分）

（1）由题设知：

如图，在同一坐标系中作出函数和的图象（如图所示）

得定义域为.………………4分

（2）由题设知，当时，恒有

即  

又由（1），

当且仅当即………6分

∴    ………7分