函数概念与表示
共2805题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

17.已知的面积为，且．

（1）求；

（2）求求周长的最大值．

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）∵△的面积为，且，∴，

∴，∴为锐角，且，

∴，所以．

（2）

所以周长为

，所以，,所以

所以周长最大值为．

另解：由余弦定理可得：

又因为，所以

所以：当且仅当时取到等号．

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

单选题 · 5 分

3.下列函数中，在内有零点且单调递增的是（）

正确答案

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

填空题 · 5 分

9.已知函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0，]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的

取值集合为（）

正确答案

解析

‍即，其中kZ，则k＝或k＝或k＝1.

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

填空题 · 5 分

12.若关于x的方程=kx+1-2k(k为实数)有三个实数解，则这三个实数解的和为（）

正确答案

解析

两个函数的图象均关于点（2，0）对称.

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 12 分

15.在平面直角坐标系中，设角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线按顺时针方向旋转后与单位圆交于点.记，其中角为锐角.

（1）求函数的值域；

（2）设的角所对的边分别为，若，且，，求.

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意，得，

所以=，

因为，所以，故.

（2）因为，又，所以，

在中，由余弦定理得，即，

解得或.

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

简答题 · 12 分

17.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C、D在半圆上)，设∠BOC＝θ，木梁的体积为V(m3)，表面积为S(m2).

（1）求V关于θ的函数表达式；

（2）求体积V的最大值；

（3）当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由.

正确答案

见解析。

解析

（1）梯形ABCD的面积

SABCD＝·sinθ＝sinθcosθ＋sinθ，

体积V(θ)＝10(sinθcosθ＋sinθ)，.

（2）V′(θ)＝10(2cos2θ＋cosθ－1)

＝10(2cosθ－1)(cosθ＋1).

令V′(θ)＝0，得cosθ＝，或cosθ＝－1.

∵，∴cosθ＝，∴θ＝.

当时，＜cosθ＜1，V′(θ)＞0，V(θ)为增函数；

当时，0＜cosθ＜，V′(θ)＜0，V(θ)为减函数.

∴当θ＝时，体积V最大，最大值为.

（3）木梁的侧面积

S侧＝(AB＋2BC＋CD)·10＝20，.

S＝2SABCD＋S侧＝2(sinθcosθ＋sinθ)＋20(cosθ＋2sin＋1)，.

设g(θ)＝cosθ＋2sin＋1，.

∵g(θ)＝－2sin2＋2sin＋2，

∴当sin＝，即θ＝时，g(θ)最大.

又由（2）知θ＝时，sinθcosθ＋sinθ取得最大值，

∴θ＝时，木梁的表面积S最大.

综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大.

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

单选题 · 5 分

8.设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”．若给定函数，，则下列结论成立的是（）

正确答案

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

单选题 · 5 分

2.下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是(　　)

Ay＝x2

By＝2|x

Cy＝

Dy＝sin x

正确答案

解析

选C　函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数；函数y＝2|x|在(－∞，0)上是减函数；函数y＝＝－log2|x|是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数；函数y＝sin x不是偶函数.综上所述，选C.

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

填空题 · 5 分

14.已知函数f(x)＝ (ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若，则f(x)的值域是________.

正确答案

解析

f(x)＝3sin＝3cos＝3cos，易知ω＝2，则f(x)＝3sin，

∵x∈，∴－≤2x－≤，

∴－≤f(x)≤3.

知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

单选题 · 5 分

5.将函数f(x)=2sin(2x+)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则φ的最小值为（）

正确答案

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

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