热门试卷

（Ⅰ）解：因为,所以.         

（Ⅱ）证明：假设存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则.

设，，，，由已知,

由于，所以，.

不妨令，，这里，且，

同理，，且，

因为只有三个元素，所以.

即，但是，与已知矛盾.

因此假设不成立，即不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则.               

（Ⅲ）当时,记,.记，

则，显然对任意，不存在，使得成立. 故是非“和谐集”，此时.同样的，当时，存在含的集合的有12个元素的子集为非“和谐集”.

因此.

下面证明：含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”.

设，

若1，14，21中之一为集合的元素，显然为“和谐集”.

现考虑1，14，21都不属于集合，构造集合，，，，，.

以上每个集合中的元素都是倍数关系.考虑的情况，也即中5个元素全都是的元素，中剩下6个元素必须从这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合中至少有两个元素存在倍数关系.

综上所述，含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”，即的最大值为7.                                 

（I）解：，

依题意，令，解得．经检验，时，符合题意．

（II）令得

当时，与的变化情况入下表：

所以的单增区间是，单减区间是和；

当时，的单减区间是；

当时，，与的变化情况入下表：

所以的单增区间是，单减区间是和；

综上，当时，的单增区间是，单减区间是和；

当时，的单减区间是；

当时，的单增区间是，单减区间是和．

(III) 当时，在的最大值是，

由知不合题意；

当时，在上单减，可得在的最大值是，符合题意.      

（2）g（x）＝xln x－a（x－1），则g′（x）＝ln x＋1－a.

g′（x）＜0⇔ln x＋1－a＜0⇔0＜x＜ea－1，

g′（x）＞0⇔x＞ea－1，

所以g（x）在（0，ea－1）上单调递减，在（ea－1，＋∞）上单调递增．

当ea－1≤1，即a≤1时，g（x）在[1，e]上单调递增，

所以g（x）在[1，e]上的最小值为g（1）＝0.

当1＜ea－1＜e，即1＜a＜2时，g（x）在[1，ea－1）上单调递减，

在（ea－1，e]上单调递增．

所以g（x）在[1，e]上的最小值为g（ea－1）＝a－ea－1.

当e≤ea－1，即a≥2时，g（x）在[1，e]上单调递减，

所以g（x）在[1，e]上的最小值为g（e）＝e＋a－ae.

综上，当a≤1时，g（x）的最小值为0；

当1＜a＜2时，g（x）的最小值为a－ea－1；

当a≥2时，g（x）的最小值为a＋e－ae。

解：（Ⅰ）

（Ⅱ）因为，所以

当时，即时，的最大值为

当时，即时，的最小值为.   

解　由已知，得f′（x）＝x2－（a＋1）x＋b.

由f′（0）＝0，得b＝0，f′（x）＝x（x－a－1）．

（1）当a＝1时，f（x）＝x3－x2＋1，f′（x）＝x（x－2），f（3）＝1，f′（3）＝3.

所以函数f（x）的图象在x＝3处的切线方程为y－1＝3（x－3），即3x－y－8＝0.

（2）存在x＜0，使得f′（x）＝x（x－a－1）＝－9，

，

当且仅当x＝－3时，a＝－7.

所以a的最大值为－7。

1.

2.

（1）曲线C的直角坐标方程为

即   曲线C为圆心为（3,0），半径为2的圆.

直线l的方程为:             

∵直线l与曲线C相切   ∴

即                            

（法二）①将化成直角坐标方程为

由消去得   

∵ 与C相切  ∴ Δ=64-48=0   解得cos=

（2）设

则 =        

∴ 的取值范围是。            

3.

（1）∵   即  ∴   

又   当且仅当时取等号.

∴                                    

（2）                        

∴ 满足条件的实数不存在.。                    

解:（1）时，， ，

所求切线方程为y=1.                         

（2）    

当即时，

，，此时，在上单调增；

当即时，

时，，上单调减；

时，，在上单调增；

当即时，

，，此时，在上单调减；

（3）方法一：当时， 在上单调增，的最小值为

当时， 在上单调减，在上单调增

的最小值为

，

当时， 在上单调减，的最小值为

  ；

综上，                                  

方法二：

不等式，可化为．

∵, ∴且等号不能同时取，所以，即，

因而（）

令（），又，

当时，，，

从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，

故的最小值为，所以a的取值范围是．