热门试卷

解:（I）由已知得的定义域为, 又       

由题意得      

（II）依题意得   对恒成立，

的最大值为

的最小值为     又因时符合题意

∴所求的取值范围为 

（1）由f（x）＝ex－ax2－bx－1，得g（x）＝f′（x）＝ex－2ax－b.

所以g′（x）＝ex－2a.

当x∈[0，1]时，g′（x）∈[1－2a，e－2a]．

当a≤时，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，1]上单调递增，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）＝1－b；

当a≥时，g′（x）≤0，所以g（x）在[0，1]上单调递减，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）＝e－2a－b；

当<a<时，令g′（x）＝0，得x＝ln（2a）∈（0，1）

所以函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间（ln（2a），1]上单调递增，

于是，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））＝2a－2aln（2a）－b.

综上所述，当a≤时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）＝1－b；

当<a<时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））＝2a－2aln（2a）－b；

当a≥时，g（x）在[0，1]上的最小值是

g（1）＝e－2a－b

（2）设x0为f（x）在区间（0，1）内的一个零点，

则由f（0）＝f（x0）＝0可知

f（x）在区间（0，x0）上不可能单调递增，也不可能单调递减．

则g（x）不可能恒为正，也不可能恒为负．

故g（x）在区间（0，x0）内存在零点x1.

同理g（x）在区间（x0，1）内存在零点x2.

故g（x）在区间（0，1）内至少有两个零点．

由（1）知，当a≤时，g（x）在[0，1]上单调递增

故g（x）在（0，1）内至多有一个零点；

当a≥时，g（x）在[0，1]上单调递减

故g（x）在（0，1）内至多有一个零点，都不合题意．

所以<a<.

此时g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间（ln（2a），1]上单调递增．

因此x1∈（0，ln（2a）]，x2∈（ln（2a），1），必有

g（0）＝1－b>0，g（1）＝e－2a－b>0.

由f（1）＝0得a＋b＝e－1<2，

则g（0）＝a－e＋2>0，g（1）＝1－a>0，

解得e－2<a<1.

当e－2<a<1时，g（x）在区间[0，1]内有最小值g（ln（2a））．

若g（ln（2a））≥0，则g（x）≥0（x∈[0，1]），

从而f（x）在区间[0，1]内单调递增，这与f（0）＝f（1）＝0矛盾，所以g（ln（2a））<0.

又g（0）＝a－e＋2>0，g（1）＝1－a>0.

故此时g（x）在（0，ln（2a））和（ln（2a），1）内各只有一个零点x1和x2.

由此可知f（x）在[0，x1]上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在[x2，1]上单调递增．

所以f（x1）>f（0）＝0，f（x2）<f（1）＝0，

故f（x）在（x1，x2）内有零点．

综上可知，a的取值范围是（e－2，1）．

故g（x）≤0，即f（x）≤2x－2.

解：（Ⅰ）函数的图象经过点

函数的最小正周期                        

的最大值为， 最小值为        

（Ⅱ）的图像向右平移（）个单位，得到

的图像关于对称，故在取得最值

∴，

∴    所以

所以的最小值为