- 诱导公式的推导
- 共118题
甲、乙等五名大冬会志愿者被随机地分到黑大、体院、理工、亚布力四个不同的比赛场馆服务,每个场馆至少有一名志愿者。
(1)求甲、乙两人同时到黑大场馆服务的概率;
(2)设随机变量为这五名志愿者中到黑大场馆服务的人数,求
的分布列及数学期望。
正确答案
见解析
解析
(1)记甲、乙两人同时到黑大场馆服务为事件A,那么
即甲、乙两人同时到黑大场馆服务的概率是
(2)随机变量可能取的值为1,2。
事件“=2”是指有两人同时到黑大场馆服务,
则
所以
的分布列是
的数学期望
知识点
已知函数(
为非零常数)。
(1)当时,求函数
的最小值;
(2)若恒成立,求
的值;
(3)对于增区间内的三个实数
(其中
),
证明:.
正确答案
见解析
解析
(1)由,得
,
令,得
. 当
,
知
在
单调递减;
当,
知
在
单调递增;
故的最小值为
.
(2),当
时,
恒小于零,
单调递减.
当时,
,不符合题意.
对于,由
得
当时,
,∴
在
单调递减;
当时,
,∴
在
单调递增;
于是的最小值为
.
只需成立即可,构造函数
.
∵,∴
在
上单调递增,在
上单调递减,
则,仅当
时取得最大值,故
,即
.
(3)解法1:
由已知得:,∴
,
先证,
,
.
设
,∴
在
内是减函数,
∴,即
.
同理可证,∴
.
解法2:
令得
.
下面证明.
令,则
恒成立,即
为增函数.
,
构造函数(
),
,
,故
时,
,即得
,
同理可证.
即,因
为增函数,
得,即在区间
上存在
使
;
同理,在区间上存在
使
,
由为增函数得
知识点
如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,E为PB上的点,且2BE=EP.
(1)证明:AC⊥DE;
(2)若PC=BC,求二面角E-AC-P的余弦值。
正确答案
见解析
解析
解析:解:(1)∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC,
∵底面ABCD是正方形,∴BD⊥AC,∴AC⊥平面PBD,
∵DE⊂平面PBD,∴AC⊥DE.(5分)
(2)以D为原点,DP,DA,DC所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系。
设BC=3,则CP=3,DP=3,因为2BE=EP,
易知D(0,0,0),A(0,3,0),C(0,0,3),P(3,0,0),E(1,2,2)。
所以→(CA)=(0,3,-3),→(CP)=(3,0,-3),→(CE)=(1,2,-1),
设平面ACP的法向量为u=(x,y,z),则u·→(CA)=0,u·→(CP)=0,
即3x-3z=0,(3y-3z=0,)令x=1,得u=(1,1,1),同理可取平面ACE的法向量v=(-1,1,1),
所以cos〈u,v〉=|u||v|(u·v)=3(1),由图知二面角E-AC-P为锐二面角,所以二面角E—AC—P的余弦值为3(1).(12分)
知识点
已知曲线C1的极坐标方程为ρcos(θ-)=-1,曲线C2的极坐标方程为ρ=
2cos(θ-
),以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系。
(1)求曲线C2的直角坐标方程;
(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值。
正确答案
见解析
解析
解析:
(1),
即,可得
,
故的直角坐标方程为
.
(2)的直角坐标方程为
,
由(1)知曲线是以
为圆心的圆,且圆心到直线
的距离
,
所以动点到曲线
的距离的最大值为
知识点
已知,且
,求
的最小值及取得最小值时
的值
正确答案
见解析
解析
又,
,当且仅当
时等号成立
当时,
取得最小值18
知识点
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