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题型:简答题
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简答题 · 12 分

甲、乙等五名大冬会志愿者被随机地分到黑大、体院、理工、亚布力四个不同的比赛场馆服务,每个场馆至少有一名志愿者。

(1)求甲、乙两人同时到黑大场馆服务的概率;

(2)设随机变量为这五名志愿者中到黑大场馆服务的人数,求的分布列及数学期望。

正确答案

见解析

解析

(1)记甲、乙两人同时到黑大场馆服务为事件A,那么

即甲、乙两人同时到黑大场馆服务的概率是  

(2)随机变量可能取的值为1,2。

事件“=2”是指有两人同时到黑大场馆服务,

所以

的分布列是

的数学期望

知识点

诱导公式的推导
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数(为非零常数)。

(1)当时,求函数的最小值;

(2)若恒成立,求的值;

(3)对于增区间内的三个实数(其中),

证明:.

正确答案

见解析

解析

(1)由,得

,得. 当单调递减;

单调递增;

的最小值为.      

(2),当时,恒小于零,单调递减.

时,,不符合题意.      

对于,由

时,,∴单调递减;

时,,∴单调递增;

于是的最小值为.  

只需成立即可,构造函数.

,∴上单调递增,在上单调递减,

,仅当时取得最大值,故,即.    

(3)解法1:

由已知得:,∴

先证

.               

,∴内是减函数,

,即.   

同理可证,∴.   

解法2:

.

下面证明.

,则恒成立,即为增函数.

构造函数),

,故时,,即得

同理可证.         

,因为增函数,

,即在区间上存在使

同理,在区间上存在使

为增函数得

知识点

诱导公式的推导
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,E为PB上的点,且2BE=EP.

(1)证明:AC⊥DE;
(2)若PC=BC,求二面角E-AC-P的余弦值。

 

 

 

 

正确答案

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解析

解析:解:(1)∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC,

∵底面ABCD是正方形,∴BD⊥AC,∴AC⊥平面PBD,

∵DE⊂平面PBD,∴AC⊥DE.(5分)

(2)以D为原点,DP,DA,DC所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系。

设BC=3,则CP=3,DP=3,因为2BE=EP,

易知D(0,0,0),A(0,3,0),C(0,0,3),P(3,0,0),E(1,2,2)。

所以→(CA)=(0,3,-3),→(CP)=(3,0,-3),→(CE)=(1,2,-1),

设平面ACP的法向量为u=(x,y,z),则u·→(CA)=0,u·→(CP)=0,

即3x-3z=0,(3y-3z=0,)令x=1,得u=(1,1,1),同理可取平面ACE的法向量v=(-1,1,1),

所以cos〈u,v〉=|u||v|(u·v)=3(1),由图知二面角E-AC-P为锐二面角,所以二面角E—AC—P的余弦值为3(1).(12分)

知识点

诱导公式的推导
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题型:简答题
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简答题 · 10 分

已知曲线C1的极坐标方程为ρcos(θ-)=-1,曲线C2的极坐标方程为ρ=

2cos(θ-),以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系。

(1)求曲线C2的直角坐标方程;

(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值。

正确答案

见解析

解析

解析:

(1)

,可得

的直角坐标方程为.

(2)的直角坐标方程为

由(1)知曲线是以为圆心的圆,且圆心到直线的距离

所以动点到曲线的距离的最大值为

知识点

诱导公式的推导
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

已知,且,求的最小值及取得最小值时的值

正确答案

见解析

解析

,当且仅当时等号成立

时,取得最小值18

知识点

诱导公式的推导
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