- 函数解析式的求解及常用方法
- 共177题
已知函数,若,则实数的取值范围是( )
正确答案
解析
略
知识点
已知函数。
(1)函数在点处的切线与直线平行,求的值;
(2)当时,恒成立,求的取值范围。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1) ……………………2分
, ……………………3分
因为函数在点的切线与直线平行
所以, ……………………5分
(2)
令
当时,,在上,有,函数增;在上,有,函数减, 函数的最小值为0,结论不成立,………………………6分
当时, ……………………7分
若,,结论不成立 ……………………9分
若,则,在上,有,函数增;
在上,有,函数减,
只需 ,得到,
所以 ……………………11分
若,,函数在有极小值,只需
得到,因为,所以 …………………13分
综上所述, …………………14分
知识点
已知函数的最小正周期为.
(1)求的值;
(2)求函数在区间上的最大值和最小值。
正确答案
(1)
(2) 取得最大值;取得最小值
解析
(1)
.……………… ………5分
因为是最小正周期为,所以,因此.…… ……7分
(2)由(1)可知,,
因为,所以.………… …………9分
于是当,即时,取得最大值;…………………11分
当,即时,取得最小值.……………13分
知识点
已知正三角形的边长为1,点是边上的动点,点是边上的动点,且,则的最大值为( )
正确答案
解析
略
知识点
已知双曲线的离心率为,顶点与椭圆的焦点相同,那么该双曲线的焦点坐标为(),渐近线方程为() 。
正确答案
解析
略
知识点
已知函数在处的切线斜率为零。
(1)求和的值;
(2)求证:在定义域内恒成立;
(3)若函数有最小值,且,求实数的取值范围。
正确答案
见解析
解析
(1)解:.
由题意有即,解得或(舍去)。
得即,解得,
(2)证明:由(1)知,
。
在区间上,有;在区间上,有,
故在单调递减,在单调递增,
于是函数在上的最小值是,
故当时,有恒成立,
(3)解: 。
当时,则,当且仅当时等号成立,
故的最小值,符合题意;
当时,函数在区间上是增函数,不存在最小值,不合题意;
当时,函数在区间上是增函数,不存在最小值,不合题意。
综上,实数的取值范围是,
知识点
已知函数()。
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,取得极值。
① 若,求函数在上的最小值;
② 求证:对任意,都有.
正确答案
见解析
解析
(1) …………1分
当时,
解得或, 解得 ……………2分
所以单调增区间为和,单调减区间为………3分
(2)①当时,取得极值, 所以
解得(经检验符合题意) ……………4分
所以函数在,递增,在递减. ……5分
当时,在单调递减,
………………6分
当时
在单调递减,在单调递增,
. ………………7分
当时,在单调递增,
……………………8分
综上,在上的最小值
……………………9分
②令 得(舍)
因为
所以 ……………11分
所以,对任意,都有
……………13分
知识点
函数的值域是____________。
正确答案
解析
略
知识点
已知x=0是函数的一个极值点,且函数的图象在处的切线的斜率为2.
(1)求函数的解析式并求单调区间.
(2)设,其中,问:对于任意的,方程在区间上是否存在实数根?若存在,请确定实数根的个数.若不存在,请说明理由.
正确答案
见解析。
解析
(1)
由
又,故
令得或
令得
故:,单调增区间是,单调减区间是
(2)解:假设方程在区间上存在实数根
设是方程的实根,,
令,从而问题转化为证明方程=0
在上有实根,并讨论解的个数
因为,,
所以
①当时,,所以在上有解,且只有一解
②当时,,但由于,
所以在上有解,且有两解
③当时,,所以在上有且只有一解;
当时,,
所以在上也有且只有一解
综上所述, 对于任意的,方程在区间上均有实数根
且当时,有唯一的实数解;当时,有两个实数解
知识点
从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,打算本年度投入800万元,以后每年投入将比上年平均减少,本年度旅游收入为400万元,由于该项建设对旅游的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加.
(1)设第年(本年度为第一年)的投入为万元,旅游业收入为万元,写出,的表达式;
(2)至少经过几年旅游业的总收入超过总投入?
正确答案
见解析。
解析
(1)依题意每年投入构成首项为800万元,公比为的等比数列,每年旅游业收入组成首项为400万元,公比为的等比数列。
所以,
(2)解,经过年,总收投入
经过年,总收入
设经过年,总收入超过总投入,由此,,
化简得
设代入上式整理得,
解得,或(舍去)
由,时,,,=
因为 在定义域上是减函数,所以
答:至少经过5年旅游业的总收入超过总投入。
知识点
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