- 函数的单调性及单调区间
- 共89题
已知函数,。
(1)求函数的单调区间;
(2)函数在区间上是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1),.
由,得,或.
①当,即时,在上,,单调递减;
②当,即时,在上,,单调递增,在上,,单调递减。
综上所述:时,的减区间为; 时,的增区间为,的减区间为。
(2)
1)当时,由(1)在上单调递减,不存在最小值;
2)当时,
若,即时,在上单调递减,不存在最小值;
若,即时,在上单调递增,在上单调递减,
因为,且当时,,所以时,。
又因为,所以当,即时,有最小值;,即时, 没有最小值。
综上所述:当时,有最小值;当时,没有最小值。
知识点
已知函数。
(1)求函数的单调递增区间;
(2)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知, , ,求△ABC的面积。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)
…………1分
…………3分
令
…………5分
函数的单调递增区间. …………6分
(2)由,,
因为为内角,由题意知,所以
因此,解得。 …………8分
由正弦定理,得, …………10分
由,由,可得 ,…………12分
∴。 …………13分
知识点
已知函数()。
(1) 求的单调区间;
(2) 如果是曲线上的任意一点,若以为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值;
(3) 讨论关于的方程的实根情况。
正确答案
见解析
解析
(1) ,定义域为,
则。
因为,由得, 由得,
所以的单调递增区间为 ,单调递减区间为。
(2)由题意,以为切点的切线的斜率满足
,
所以对恒成立。
又当时, ,
所以的最小值为。
(3)由题意,方程化简得
+
令,则。
当时, ,
当时, ,
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减。
所以在处取得极大值即最大值,最大值为。
所以 当, 即时, 的图象与轴恰有两个交点,
方程有两个实根,
当时, 的图象与轴恰有一个交点,
方程有一个实根,
当时, 的图象与轴无交点,
方程无实根。
知识点
函数
正确答案
解析
略
知识点
已知函数。
(1) 求的最小正周期;
(2) 当时,求的取值范围。
正确答案
(1)
解析
(1)因为
=
。
所以的最小正周期。
(2) 因为,
所以。
所以的取值范围是
知识点
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