函数的单调性及单调区间
共89题

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函数的单调性及单调区间
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题型：简答题

简答题 · 4 分

10. 设，若关于的方程组无解，则的取值范围是_____________

正确答案

解析

由已知，，且，∴

知识点

函数的单调性及单调区间

题型：简答题

简答题 · 13 分

设函数.

25.讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

26.记，求函数在上的最大值D；

27.在（Ⅱ）中，取，求满足时的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）极小值为

解析

（Ⅰ），.

，.

因为，所以.

①当时，函数单调递增，无极值.

②当时，函数单调递减，无极值.

③当，在内存在唯一的，使得.

时，函数单调递减；时，函数单调递增.

因此，，时，函数在处有极小值.

考查方向

1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.

解题思路

（Ⅰ）将代入为，.

求导得，.因为，所以.按的范围分三种情况进行讨论：①当时，函数单调递增，无极值.②当时，函数单调递减，无极值.③当，在内存在唯一的，使得.时，函数单调递减；时，函数单调递增.因此，，时，函数在处有极小值.

易错点

函数求导错误，分类讨论能力弱，计算能力弱

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

：

（Ⅱ）时，，

当时，取，等号成立，

由此可知，函数在上的最大值为.

考查方向

1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.

解题思路

当时，依据绝对值不等式可知，从而能够得出函数在上的最大值为.

易错点

绝对值不等式性质运用错误，计算错误，不会合理放缩不等式

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）1.

解析

（Ⅲ），即，此时，从而.

取，则，并且.

由此可知，满足条件的最大值为1.

考查方向

1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.

解题思路

（Ⅲ）当，即，此时，从而.依据式子特征取，则，并且.由此可知，满足条件的最大值为1

易错点

平均值不等式的性质，计算能力弱

题型：简答题

简答题 · 13 分

20.(本小题满分13分)

已知.

（I）讨论的单调性；

（II）当时，证明对于任意的成立

正确答案

知识点

函数的单调性及单调区间函数性质的综合应用导数的运算不等式的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是

正确答案

解析

令，则，即，，所以既不是奇函数也不是偶函数，而BCD依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选．

考查方向

本题考查函数的奇偶性，属于基础题。

解题思路

逆带验证排除法。代入特殊值，对选项进行检验即可选出答案。

易错点

定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提，奇函数、偶函数的表达式满足的关系不要弄错。

知识点

函数的单调性及单调区间函数奇偶性的判断

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数，其中.

27. 讨论的单调性；

28. 设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；

29. 若关于的方程有两个正实根，求证：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(I) 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减.

解析

（I）解：由=，可得==，其中，且.

下面分两种情况讨论：

（1）当为奇数时.

令=0，解得，或.

当变化时，，的变化情况如下表：

所以，在，上单调递减，在内单调递增。（2）当为偶数时.

当，即时，函数单调递增；

当，即时，函数单调递减.

所以，在上单调递增，在上单调递减.

考查方向

1.导数的运算；

解题思路

利用导数的运算、导数的几何意义解答。

易错点

不会分类讨论。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(II)见解析；

解析

（II）证明：设点的坐标为，则，.曲线在点处的切线方程为，即.令，即，则.

由于在上单调递减，故在上单调递减.又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在上单调递减，所以对于任意的正实数，都有，即对于任意的正实数，都有.

考查方向

导数的几何意义；

解题思路

利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法.

易错点

不会利用导数的几何意义来解答。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

(III)见解析.

解析

（III）证明：不妨设.由（II）知.设方程的根为，可得，当时，在上单调递减.又由（II）知，可得.

类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，，即对于任意的，.

设方程的根为，可得.因为在上单调递增，且，因此.

由此可得.

因为，所以，故.

所以，.

考查方向

利用导数研究函数性质、证明不等式.

解题思路

分类讨论思想、函数思想和划归思想，综合分析问题和解决问题的能力。

易错点

难度大做不出来。

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