热门试卷

解：（1）（x＞0）…1分

令

当时，，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0⇒＞0⇒f（x）单调递增，

＜0时，由x＞0，得＜0，所以x∈（1，+∞）时，g（x）＞0⇒＞0⇒f（x）单调递增，

当＞0时，，若，则

当0＜＜ ， x∈(1，  )，＞0，单调递增，

当a=  ，f（x）在（0，+∞）上无递增区间，

当＜a≤1时，x∈(  ，1)，f′(x)＞0， 单调递增，

当a＞1时，x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.

综上所述，    a≤0时，单调递增区间为（1，+∞）；

0＜＜时，单调递增区间为(1， )；

a=时， 无单调递增区间；

＜a≤1时, 单调递增区间为( ，1)；

a＞1时,  单调递增区间为（0，1）.

解：

（2）由题知函数

①当时，＞0，于是和时，单调递减；时，单调递增；又因为要对任意实数，当时，函数的最小值为只需要即，解得

②当时，在上，恒有，有且仅有故在上单调递减，显然成立。

③当时，于是和时，单调递减；时，单调递增；要对任意实数，当时，函数的最小值为只需要即

令

所以在上单调递减，在上单调递增减，g（a）≥＞ln2 ＋，所以此时恒定满足题意.

综上所述：。

由已知，函数的定义域为，

，

所以.

当时，在区间上单调递增，

在区间上单调递减；

当时，在区间上单调递增.

由，解得.

令.

则，.

故存在，使得.

令，.

由知，函数在区间上单调递增.

所以.

即.

当时，有，.

由（1）知，函数在区间上单调递增.

故当时，有，从而；

当时，有，从而；

所以，当时，.

综上所述，存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.

解：（1）函数定义域为

①

②

③

综上所述，①

②

③

解：

（2）当时，由（1）知

令.

①当时，，所以函数图象在图象上方.

②当时，函数单调递减，所以其最小值为，最大值为，所以下面判断与的大小，即判断与的大小，

其中 ，

令，，令，则

因所以，单调递增；

所以，故存在

使得

所以在上单调递减，在单调递增

所以

所以时，即也即

所以函数f(x)的图象总在直线上方.