- 圆锥曲线的定点、定值问题
- 共61题
给定椭圆:
,称圆心在原点
,半径为
的圆是椭圆
的“准圆”,若椭圆
的一个焦点为
,其短轴上的一个端点到
的距离为
。
(1)求椭圆的方程和其“准圆”方程;
(2)点是椭圆
的“准圆”上的动点,过点
作椭圆的切线
交“准圆”于点
。
(ⅰ)当点为“准圆”与
轴正半轴的交点时,求直线
的方程并证明
;
(ⅱ)求证:线段的长为定值。
已知定点,直线
,点
为坐标平面上的动点,过点
作直线
的垂线,垂足为点
,且
,设动点
的轨迹为曲线
。
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线
与曲线
有两个不同的交点
、
,求证:
;
(3)记与
的夹角为
(
为坐标原点,
、
为(2)中的两点),求
的取值范围。
已知椭圆的左右焦点分别是
,直线
与椭圆
交于两点
且当
时,M是椭圆
的上顶点,且△
的周长为6.
(1)求椭圆 的方程;
(2)设椭圆的左顶点为A,直线
与直线:
分别相交于点
,问当
变化时,以线段
为直径的圆被
轴截得的弦长是否为定值?若是,求出这个定值,若不是,说明理由。
已知椭圆:
的右焦点为
,且点
在椭圆
上。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知动直线过点
,且与椭圆
交于
,
两点.试问
轴上是否存在定点
,使得
恒成立?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由。
已知:椭圆(
),过点
,
的直线倾斜角为
,原点到该直线的距离为
。
(1)求椭圆的方程;
(2)斜率大于零的直线过与椭圆交于
,
两点,若
,求直线
的方程;
(3)是否存在实数,直线
交椭圆于
,
两点,以
为直径的圆过点
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由。
椭圆的中心为坐标原点
,右焦点为
,且椭圆
过点
.若
的三个顶点都在椭圆
上,设三条边的中点分别为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设的三条边所在直线的斜率分别为
,且
.若直线
的斜率之和为0,求证:
为定值.
已知椭圆的左右焦点分别是
,直线
与椭圆
交于两点
且当
时,M是椭圆
的上顶点,且△
的周长为6.
(1)求椭圆 的方程;
(2)设椭圆的左顶点为A,直线
与直线:
分别相交于点
,问当
变化时,以线段
为直径的圆被
轴截得的弦长是否为定值?若是,求出这个定值,若不是,说明理由。
已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=5,椭圆E:
+
=1(a>b>0)的离心率e=
,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等。
(1)求椭圆E的方程;
(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线,若切线都存在斜率,求证两切线斜率之积为定值。
如图,设椭圆:
(
)的左、右焦点分别为
,
,点
是其与
轴的一个交点,定点
(
,
),且
,
。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点作直线
与椭圆
相交于不同的两点
,
(
,
与点
不重合),设直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,证明:
为定值。
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