热门试卷

（1）设B(0，t)，设Q(m，0)，t2=|m|，m0， m=-4t2，

 Q(-4t2，0)，设P(x，y)，则=(x-，y)，=(-4t2-，0)，

2=(-，2 t)， +=2。

(x-，y)+ (-4t2-，0)= (-，2 t)，

 x=4t2，y=2 t， y2=x，此即点P的轨迹方程；       6分。

（2）由（1），点P的轨迹方程是y2=x；设P(y2，y)，M (4，0) ，则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T(，), 以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长:

L=2

=2=2      10分

若a为常数，则对于任意实数y，L为定值的条件是a-=0, 即a=时，L=

存在定直线x=，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值。

解析：（1）设的标准方程分别为：

和代入抛物线方程中得到的解相同，…………………………2分，

且和在椭圆上，代入椭圆方程得故的标准方程分别为　　　　　　　　　　　　　…………………………5分

（2）设直线的方程为将其代入消去并化简整理得

与相切，

…………………………7分，

设切点则又直线与的准线的交点以为直径的圆的方程为

…………………………10分，

化简并整理得恒成立，故即存在定点合题意。　　　　　　　　　　　　　　　　…………………………12分

（1）由，

解得，，

因为，所以。

设，则，

化简得，……5分

又，联立方程组，解得，或。

因为平分，所以不合，故

（2）设，，由，得。

，，，

若存常数，当变化时，恒有，则由（1）知只可能。

①当时，取，等价于，

即，

即，

即，此式恒成立。

所以，存常数，当变化时，恒有，

②当时，取，由对称性同理可知结论成立。

故，存常数，当变化时，恒有，

（1）易知，得,故.

故方程为.                                     （3分）

（2）证明：设：，与椭圆的方程联立,消去得

. 由△＞0得.

设,则.

∴

=

，∴，

故所求范围是.                                        （8分）

（3）由对称性可知N，定点在轴上。

直线AN：，令得:

,

∴直线过定点.  （13分）

（1）根据已知条件有，且，故椭圆的长轴在轴上.

，当且仅当时取等号.

由于椭圆的离心率最小时其形状最圆，故最圆的椭圆方程为.

（2）设交点，过交点的直线与椭圆相切.

（i）当斜率不存在或等于零时，易得点的坐标为.   

（ii）当斜率存在且非零时，则设斜率为，则直线：，

与椭圆方程联立消，得：.

由相切，，

化简整理得. ①

因过椭圆外一点有两条直线与椭圆相切，由已知两切线垂直，故，而为方程①的两根，

故，整理得：.

又也满足上式，

故点的轨迹方程为，即点在定圆上.  

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