圆锥曲线的定点、定值问题
共61题

· 圆锥曲线的定点、定值问题

圆锥曲线的定点、定值问题
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题型：简答题

简答题 · 13 分

20．已知椭圆C：的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为A1．求证：直线A1B过x轴上一定点，并求出此定点坐标．

正确答案

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

20．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过原点且斜率为的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；

（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点,直线PA1，PA2，分别交轴于点N，M,若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值,并求出该定值。

正确答案

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 16 分

22．设，为坐标平面上的点．直线与抛物线交于点（异于点）．

（1）对任意，点在抛物线上，试问当为何值时，点在某一圆上?并求出该圆的方程；

（2）若点在椭圆上运动，试问能否保持在一双曲线上?若能，求出该双曲线的方程．若不能，说明理由；

（3）对（1）中点所在的圆，设为圆上两点，且满足，试寻找一个定圆，使得恒与圆相切．

正确答案

（1）直线，与抛物线联立得，依题意，

，当时，在圆上；

（2）若点在椭圆上运动，则，

（方法1）两边同除以得，，

∴点在双曲线上；

（方法2）设，则代入上式，

得，

即，∴点在双曲线上；

（3）（方法1）设，则，

由得

① 当直线的斜率为零时，

设的方程为，于是（舍负）

②当直线的斜率不为零时，

设的方程为，代入圆的方程得

，于是，

即原点到直线的距离，与无关，

∴直线总与圆相切．

（方法2）设，原点到直线的距离为

则，

即

注意到圆是的外接圆，

∴，∴

即原点到直线的距离为定值，

∴直线总与圆相切．

解析

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知识点

圆的标准方程双曲线的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

5.过点M(-2,0)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1,P2,线段P1P2的中点为P。设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP(O为坐标原点)的斜率为k2,则k1k2等于（）

A-2

C-

正确答案

解析

设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x0,y0),则,两式作差得,∴k1==-=-,又k2=,∴k1k2=-,故选C.

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系圆锥曲线的定点、定值问题

题型：简答题

简答题 · 16 分

18. 平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆上一动点的直线，过F2与x轴垂直的直线记为，右准线记为；

①设直线与直线相交于点M，直线与直线相交于点N，证明恒为定值，并求此定值。

②若连接并延长与直线相交于点Q，椭圆的右顶点A，设直线PA的斜率为，直线QA的斜率为，求的取值范围．

正确答案

见解析

解析

（1）由题意知，则 ,又可得 ,

所以椭圆C的标准方程为.

（2）①M N

②点（），点Q，

∵，，

∴==．

∵点P在椭圆C上， ∴，

∴==．

∵，

∴．

∴的取值范围是．

考查方向

本题考查了椭圆方程的求法，离心率，圆方程等知识的运用，定值的求法，斜率的表示方法等。

解题思路

本题考查导数的性质，解题步骤如下：

（1）根据离心率和几何特点，求出椭圆方程

（2）表示M，N进而得

（3）表示,进而得的取值范围．

易错点

点M，N表示不当

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题

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