圆锥曲线的定点、定值问题_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

21．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于两点

(1) 若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程

(2) 设，若的斜率存在，且，求的斜率

正确答案

(1)由已知,

取，得

∵,

∴

即

∴

∴渐近线方程为

(2)若，则双曲线为

∴,

设, ，则

, ,

∴

(*)

∵

∴

∴代入(*)式，可得

直线的斜率存在，故

∴

设直线为，代入

得

∴，且

∴

∴直线的斜率为

知识点

双曲线的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20.设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

正确答案

知识点

圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：填空题

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填空题 · 13 分

（本小题满分13分）

已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.

（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（II）设O是坐标原点，直线l’平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得∣PT∣2=λ∣PA∣·∣PB∣，并求λ的值.

正确答案

（I）由已知，，则椭圆E的方程为.

有方程组得.①

方程①的判别式为，由，得，

此方程①的解为，

所以椭圆E的方程为.

点T坐标为（2,1）.

（II）由已知可设直线的方程为，

有方程组可得

所以P点坐标为（），.

设点A，B的坐标分别为 .

由方程组可得.②

方程②的判别式为，由，解得.

由②得.

所以，

同理，

所以

.

故存在常数，使得.

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，设的面积为.

24. 设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；

25. 设，，，求的值；

26. 设与的斜率之积为，求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）略

解析

试题分析：（1）依题意，直线l1的方程，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d，再利用|AB|=2|AO|可证得S

（1）直线的方程为，

由点到直线的距离公式得点到的距离为，

因为，

所以.

考查方向

本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，属于难题．

解题思路

直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．

易错点

准确计算化简

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（（2）或.

解析

试题分析：（2）由（1）得：进而得到答案.

（2）由，消去解得，

由（1）得

由题意知，

解得或.

考查方向

本题考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．

解题思路

直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．

易错点

面积公式的恰当选取运用

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）

解析

试题分析：（3）设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=kx，联立方程组消去y解得，，利用，整理得

，由题意知与无关，

得到然后求解即可.

（3）设，则，设，，

由，得，

同理，

由（1）知，

，

整理得，

由题意知与无关，

则，解得.

所以.

考查方向

本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．

解题思路

直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|＝·|x1－x2|＝ |y1－y2|，而|x1－x2|＝，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．

易错点

化简计算及方程恒成立问题

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

18．如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，直线的斜率分别记为.

（1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程；

（2）若.

①求证：；

②求的最大值.

正确答案

（1）圆的方程为.（2）详见解析

解析

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的综合问题，题目的难度较大，（1）直接求圆心和半径（2）证明定值问题时，要先表示出来，再通过计算化简得到（3）的最大值涉及到基本不等式，要能正确地使用基本不等式。

（1）因为椭圆右焦点的坐标为，所以圆心的坐标为，

从而圆的方程为.

（2）①因为圆与直线相切，所以，

即，

同理，有，

所以是方程的两根，

从而.

②设点，联立，

解得，

同理，，

所以

，当且仅当时取等号. 所以的最大值为.

考查方向

本题考查了椭圆的方程，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系。

解题思路

本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题时，常规思路是先把直线与椭圆联立方程组，消元、化简，然后应用根与系数的关系代入化简，从而解决相关问题。

易错点

1、第二问中证明，计算不出来常数。

2、第三问中求时，计算错误，同时使用基本不等式时有一定的难度。

知识点

圆的一般方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

24．若抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于x轴对称，且经过点M（2，2）．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为，

当变化且满足时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．

正确答案

见解析

解析

（1）

（2）

定点（6，－4）

考查方向

本题主要考查了抛物线与直线方程的综合能力运用。

解题思路

1利用已知条件把求出抛物线方程2.设出直线方程证明其过定点。

易错点

本题必须注意审题，否则求解错误。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线的定点、定值问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

26.求椭圆C的方程；

27.设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

（Ⅰ）因为，当在x轴上时，等号成立；同理

，当重合，即轴时，等号成立. 所以椭圆C的中心为原点，长半轴长为，短半轴长为，其方程为

考查方向

1、椭圆的标准方程；

解题思路

（Ⅰ）由题意并结合三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）知，，即，这表明椭圆的长半轴长为，短半轴长为，即可求出椭圆的方程；

易错点

粗心算错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8.

解析

（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.

（2）当直线的斜率存在时，设直线，由消去，可得

.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以

，即. ①

又由可得；同理可得.由原点到直线的距离为和，可得

. ②

将①代入②得，. 当时，；当时，.因，则，，所以

，当且仅当时取等号.所以当时，的最小值为8.

综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8.

考查方向

直线与椭圆相交综合问题；

解题思路

（Ⅱ）首先讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，易知直线的方程为或，即可求出的面积的值；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，然后联立直线与椭圆的方程并整理得到一元二次方程，然后根据题意直线总与椭圆有且只有一个公共点知，即可得到.再分别联立直线与直线和可解得点和点的坐标，并根据原点到直线的距离公式可求得，于是的面积可表示为消去参数可得，于是分两种情况进行讨论：①当时；②当时，分别求出的面积的最小值，并比较即可求出的面积取得最小值.

易错点

忘记讨论斜率不存在的情况。

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20. 已知椭圆的离心率为，且过点.若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”.

（I）求椭圆C的标准方程；

（II）若直线与椭圆C相交于A,B两点，且A,B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.

正确答案

（1），

（2）

解析

试题分析：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的综合，考查了弦长公式的用法，训练了直线和圆锥曲线关系中的设而不求的解题方法，体现了整体运算思想，训练了学生的计算能力，该题是有一定难度问题．

(I) 解：由题意知，

∴，

即又

∴，

椭圆的方程为

(II) 设，则

由于以为直径的圆经过坐标原点，所以

即

由得，

，.

.

代入即得：，

,

把代入上式得.

考查方向

本题主要考查了本题考查了椭圆的集合性质和直线与椭圆的位置关系

解题思路

（1）直接把给出的点的坐标代入椭圆方程，结合离心率及隐含条件a2=b2+c2联立方程组求解a2，b2的值，则椭圆方程可求；

（2）设出A，B的坐标，根据新定义得到P，Q的坐标，当斜率存在时设出直线方程y=kx+m，联立直线和椭圆方程后利用根与系数关系求得x1+x2，x1x2，再由以PQ为直径的圆过原点得到A，B的坐标之间的关系3x1x2+4y1y2=0，转化为横坐标的关系后代入x1+x2，x1x2，即可把直线的斜率用截距表示，然后利用弦长公式求出AB的长度，用点到直线的距离公式求出O点到AB的距离，利用整体运算就能求得三角形OAB的面积，斜率不存在时直线方程可直接设为x=m，和椭圆方程联立求出y2，同样代入3x1x2+4y1y2=0后可直接求出m的值，则三角形面积可求．

易错点

1、计算的准确性

2、存在性问题,先特殊在一般

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

19．已知椭圆C:的离心率为，点在椭圆C上。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设动直线与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由。

正确答案

（Ⅰ）；

（Ⅱ），．

解析

试题分析：本题属于解析几何的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求，（2）要注意直线不存在斜率的特殊情况，（3）要注意计算结果去正确性

（Ⅰ）解：由题意，得，，

又因为点在椭圆上，

所以，

解得，，，

所以椭圆C的方程为．

（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为．

证明如下：

假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为．

当直线的斜率存在时，设的方程为．

由方程组得，

因为直线与椭圆有且仅有一个公共点，

所以，即．

由方程组得，

则．

设，，则，，

设直线，的斜率分别为，，

所以

，

将代入上式，得．

要使得为定值，则，即，验证符合题意．

所以当圆的方程为时，圆与的交点满足为定值．

当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，

此时，圆与的交点也满足．

综上，当圆的方程为时，圆与的交点满足斜率之积为定值．

考查方向

本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系的考查主要分以下几类：

1．直线与圆锥曲线的公共点个数问题，

2．弦长问题，

3．中点弦问题．

解题思路

本题考查直线与椭圆的位置关系，解题步骤如下：

1．利用待定系数法求出椭圆的标准方程；

2．假设存在，设出圆的方程与直线方程；

3．联立直线与椭圆的方程，化简得到关于的一元二次方程，利用判别式为0求得的关系；

4．联立直线与圆的方程，化简得到关于的一元二次方程，利用平面向量的数量积求解；

5．讨论直线斜率不存在的情况，得到结论。

易错点

1、第二问中，联立直线与圆的方程得到关于关于的一元二次方程后，要注意验证判别式为正值；

2、第二问中，不要忘记“直线无斜率”的特殊情况。

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

22．如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”.

（1）若猫眼曲线过点，且的公比为，求猫眼曲线的方程；

（2）对于题（1）中的求猫眼曲线，任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦的中点为，交椭圆所得弦的中点为，求证：为与无关的定值；

（3）若斜率为的直线为椭圆的切线，且交椭圆于点，为椭圆上的任意一点（点与点不重合），求面积的最大值.

正确答案

（1），；

（2）证法略；

（3）

解析

（1），，

，；

（2）设斜率为的直线交椭圆于点，线段中点

由，得

存在且，，且

，即

同理，

得证

（3）设直线的方程为

，

两平行线间距离：

的面积最大值为

注：若用第一小题结论，算得：

的面积最大值为

考查方向

本题考查了椭圆的定义，方程的求法，直线与椭圆的位置关系，在近几年的各省高考题出现的频率非常高，常与求函数值域等知识点交汇命题。

解题思路

本题考查了椭圆的定义，方程的求法，直线与椭圆的位置关系，解题步骤如下：

（1）待定系数法求出椭圆方程；

（2）点差法推导直线的斜率的关系；

（3）利用设而不求，弦长公式求解三角形面积，

易错点

注意焦点位置的变化，区分几何意义的转变。

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题

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