圆锥曲线的定点、定值问题
共61题

· 圆锥曲线的定点、定值问题

圆锥曲线的定点、定值问题
共61题

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题型：简答题

简答题 · 14 分

21．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于两点

(1) 若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程

(2) 设，若的斜率存在，且，求的斜率

正确答案

(1)由已知,

取，得

∵,

∴

即

∴

∴渐近线方程为

(2)若，则双曲线为

∴,

设, ，则

, ,

∴

(*)

∵

∴

∴代入(*)式，可得

直线的斜率存在，故

∴

设直线为，代入

得

∴，且

∴

∴直线的斜率为

知识点

双曲线的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

20.设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

正确答案

知识点

圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：填空题

填空题 · 13 分

（本小题满分13分）

已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.

（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（II）设O是坐标原点，直线l’平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得∣PT∣2=λ∣PA∣·∣PB∣，并求λ的值.

正确答案

（I）由已知，，则椭圆E的方程为.

有方程组得.①

方程①的判别式为，由，得，

此方程①的解为，

所以椭圆E的方程为.

点T坐标为（2,1）.

（II）由已知可设直线的方程为，

有方程组可得

所以P点坐标为（），.

设点A，B的坐标分别为 .

由方程组可得.②

方程②的判别式为，由，解得.

由②得.

所以，

同理，

所以

故存在常数，使得.

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

19．已知椭圆C:的离心率为，点在椭圆C上。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设动直线与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由。

正确答案

（Ⅰ）；

（Ⅱ），．

解析

试题分析：本题属于解析几何的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求，（2）要注意直线不存在斜率的特殊情况，（3）要注意计算结果去正确性

（Ⅰ）解：由题意，得，，

又因为点在椭圆上，

所以，

解得，，，

所以椭圆C的方程为．

（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为．

证明如下：

假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为．

当直线的斜率存在时，设的方程为．

由方程组得，

因为直线与椭圆有且仅有一个公共点，

所以，即．

由方程组得，

则．

设，，则，，

设直线，的斜率分别为，，

所以

，

将代入上式，得．

要使得为定值，则，即，验证符合题意．

所以当圆的方程为时，圆与的交点满足为定值．

当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，

此时，圆与的交点也满足．

综上，当圆的方程为时，圆与的交点满足斜率之积为定值．

考查方向

本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系的考查主要分以下几类：

1．直线与圆锥曲线的公共点个数问题，

2．弦长问题，

3．中点弦问题．

解题思路

本题考查直线与椭圆的位置关系，解题步骤如下：

1．利用待定系数法求出椭圆的标准方程；

2．假设存在，设出圆的方程与直线方程；

3．联立直线与椭圆的方程，化简得到关于的一元二次方程，利用判别式为0求得的关系；

4．联立直线与圆的方程，化简得到关于的一元二次方程，利用平面向量的数量积求解；

5．讨论直线斜率不存在的情况，得到结论。

易错点

1、第二问中，联立直线与圆的方程得到关于关于的一元二次方程后，要注意验证判别式为正值；

2、第二问中，不要忘记“直线无斜率”的特殊情况。

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 16 分

22．如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”.

（1）若猫眼曲线过点，且的公比为，求猫眼曲线的方程；

（2）对于题（1）中的求猫眼曲线，任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦的中点为，交椭圆所得弦的中点为，求证：为与无关的定值；

（3）若斜率为的直线为椭圆的切线，且交椭圆于点，为椭圆上的任意一点（点与点不重合），求面积的最大值.

正确答案

（1），；

（2）证法略；

（3）

解析

（1），，

，；

（2）设斜率为的直线交椭圆于点，线段中点

由，得

存在且，，且

，即

同理，

得证

（3）设直线的方程为

，

两平行线间距离：

的面积最大值为

注：若用第一小题结论，算得：

的面积最大值为

考查方向

本题考查了椭圆的定义，方程的求法，直线与椭圆的位置关系，在近几年的各省高考题出现的频率非常高，常与求函数值域等知识点交汇命题。

解题思路

本题考查了椭圆的定义，方程的求法，直线与椭圆的位置关系，解题步骤如下：

（1）待定系数法求出椭圆方程；

（2）点差法推导直线的斜率的关系；

（3）利用设而不求，弦长公式求解三角形面积，

易错点

注意焦点位置的变化，区分几何意义的转变。

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题

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