圆锥曲线的定点、定值问题_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，设的面积为.

24. 设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；

25. 设，，，求的值；

26. 设与的斜率之积为，求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）略

解析

试题分析：（1）依题意，直线l1的方程，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d，再利用|AB|=2|AO|可证得S

（1）直线的方程为，

由点到直线的距离公式得点到的距离为，

因为，

所以.

考查方向

本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，属于难题．

解题思路

直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．

易错点

准确计算化简

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（（2）或.

解析

试题分析：（2）由（1）得：进而得到答案.

（2）由，消去解得，

由（1）得

由题意知，

解得或.

考查方向

本题考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．

解题思路

直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．

易错点

面积公式的恰当选取运用

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）

解析

试题分析：（3）设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=kx，联立方程组消去y解得，，利用，整理得

，由题意知与无关，

得到然后求解即可.

（3）设，则，设，，

由，得，

同理，

由（1）知，

，

整理得，

由题意知与无关，

则，解得.

所以.

考查方向

本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．

解题思路

直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|＝·|x1－x2|＝ |y1－y2|，而|x1－x2|＝，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．

易错点

化简计算及方程恒成立问题

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

18．如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，直线的斜率分别记为.

（1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程；

（2）若.

①求证：；

②求的最大值.

正确答案

（1）圆的方程为.（2）详见解析

解析

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的综合问题，题目的难度较大，（1）直接求圆心和半径（2）证明定值问题时，要先表示出来，再通过计算化简得到（3）的最大值涉及到基本不等式，要能正确地使用基本不等式。

（1）因为椭圆右焦点的坐标为，所以圆心的坐标为，

从而圆的方程为.

（2）①因为圆与直线相切，所以，

即，

同理，有，

所以是方程的两根，

从而.

②设点，联立，

解得，

同理，，

所以

，当且仅当时取等号. 所以的最大值为.

考查方向

本题考查了椭圆的方程，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系。

解题思路

本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题时，常规思路是先把直线与椭圆联立方程组，消元、化简，然后应用根与系数的关系代入化简，从而解决相关问题。

易错点

1、第二问中证明，计算不出来常数。

2、第三问中求时，计算错误，同时使用基本不等式时有一定的难度。

知识点

圆的一般方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

24．若抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于x轴对称，且经过点M（2，2）．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为，

当变化且满足时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．

正确答案

见解析

解析

（1）

（2）

定点（6，－4）

考查方向

本题主要考查了抛物线与直线方程的综合能力运用。

解题思路

1利用已知条件把求出抛物线方程2.设出直线方程证明其过定点。

易错点

本题必须注意审题，否则求解错误。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线的定点、定值问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

26.求椭圆C的方程；

27.设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

（Ⅰ）因为，当在x轴上时，等号成立；同理

，当重合，即轴时，等号成立. 所以椭圆C的中心为原点，长半轴长为，短半轴长为，其方程为

考查方向

1、椭圆的标准方程；

解题思路

（Ⅰ）由题意并结合三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）知，，即，这表明椭圆的长半轴长为，短半轴长为，即可求出椭圆的方程；

易错点

粗心算错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8.

解析

（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.

（2）当直线的斜率存在时，设直线，由消去，可得

.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以

，即. ①

又由可得；同理可得.由原点到直线的距离为和，可得

. ②

将①代入②得，. 当时，；当时，.因，则，，所以

，当且仅当时取等号.所以当时，的最小值为8.

综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8.

考查方向

直线与椭圆相交综合问题；

解题思路

（Ⅱ）首先讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，易知直线的方程为或，即可求出的面积的值；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，然后联立直线与椭圆的方程并整理得到一元二次方程，然后根据题意直线总与椭圆有且只有一个公共点知，即可得到.再分别联立直线与直线和可解得点和点的坐标，并根据原点到直线的距离公式可求得，于是的面积可表示为消去参数可得，于是分两种情况进行讨论：①当时；②当时，分别求出的面积的最小值，并比较即可求出的面积取得最小值.

易错点

忘记讨论斜率不存在的情况。

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20. 已知椭圆的离心率为，且过点.若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”.

（I）求椭圆C的标准方程；

（II）若直线与椭圆C相交于A,B两点，且A,B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.

正确答案

（1），

（2）

解析

试题分析：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的综合，考查了弦长公式的用法，训练了直线和圆锥曲线关系中的设而不求的解题方法，体现了整体运算思想，训练了学生的计算能力，该题是有一定难度问题．

(I) 解：由题意知，

∴，

即又

∴，

椭圆的方程为

(II) 设，则

由于以为直径的圆经过坐标原点，所以

即

由得，

，.

.

代入即得：，

,

把代入上式得.

考查方向

本题主要考查了本题考查了椭圆的集合性质和直线与椭圆的位置关系

解题思路

（1）直接把给出的点的坐标代入椭圆方程，结合离心率及隐含条件a2=b2+c2联立方程组求解a2，b2的值，则椭圆方程可求；

（2）设出A，B的坐标，根据新定义得到P，Q的坐标，当斜率存在时设出直线方程y=kx+m，联立直线和椭圆方程后利用根与系数关系求得x1+x2，x1x2，再由以PQ为直径的圆过原点得到A，B的坐标之间的关系3x1x2+4y1y2=0，转化为横坐标的关系后代入x1+x2，x1x2，即可把直线的斜率用截距表示，然后利用弦长公式求出AB的长度，用点到直线的距离公式求出O点到AB的距离，利用整体运算就能求得三角形OAB的面积，斜率不存在时直线方程可直接设为x=m，和椭圆方程联立求出y2，同样代入3x1x2+4y1y2=0后可直接求出m的值，则三角形面积可求．

易错点

1、计算的准确性

2、存在性问题,先特殊在一般

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题

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