圆锥曲线的定点、定值问题_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 16 分

在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：＝1(a＞b＞0)上．若点A(－a，0)，B(0，)，且＝．

20.求椭圆M的离心率；

21.设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点，线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合．

①若点P(－3，0)，直线l过点(0，－)，求直线l的方程；

②若直线l过点(0，－1) ，且与x轴的交点为D，求D点横坐标的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

解：（1）设C (x0，y0)，则＝(a，)，＝(x0，y0－)．

因为＝，所以(a，)＝ (x0，y0－)＝，

得

代入椭圆方程得a2＝．

因为a2－b2＝c2，所以e＝．

考查方向

本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用斜率的共线的坐标表示和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力本题考查了利用三角函数的函数单调区间和解三角形求面积

解题思路

本题考查直线与椭圆位置关系，解题步骤如下：

（1）设C（m，n），由向量共线的坐标表示，可得C的坐标，代入椭圆方程，可得a，b的关系，

再由离心率公式计算即可得到所求值；

（2）①由题意可得c=2，a=3， b2＝5，可得椭圆方程，设直线PQ的方程为y=k（x+3），代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得k，进而得到所求直线方程；

②设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程可得，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件，求得4m=5+9k2，再由中点在椭圆内，可得k的范围，再由直线l的方程可得D的横坐标的范围．

易错点

第二问容易计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）①y＝－x＋或y＝－x＋②(－，0)∪(0，)

解析

解：（2）①因为c＝2，所以a2＝9，b2＝5，所以椭圆的方程为＝1，

设Q (x0，y0)，则＝1．……①

因为点P(－3，0)，所以PQ中点为，

因为直线l过点(0，－)，直线l不与y轴重合，所以x0≠3，

所以＝－1，

化简得x02＝9－y02－y0．……②

将②代入①化简得y02－y0＝0，解得y0＝0（舍），或y0＝．

将y0＝代入①得x0＝±，所以Q为(±，)，

所以PQ斜率为1或，直线l的斜率为－1或－，

所以直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x＋．

②设PQ：y＝kx+m，则直线l的方程为：y＝－－1，所以xD＝－k．

将直线PQ的方程代入椭圆的方程，消去y得(5＋9k2)x2＋18kmx＋9m2－45＝0．…………①，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点为N，

xN＝＝－，代入直线PQ的方程得yN＝，

代入直线l的方程得9k2＝4m－5． ……②

又因为△＝(18km)2－4(5＋9k2) (9m2－45)＞0，

化得m2－9k2－5＜0．

将②代入上式得m2－4m＜0，解得0＜m＜4，

所以－＜k＜，且k≠0，所以xD＝－k∈(－，0)∪(0，)．

综上所述，点D横坐标的取值范围为(－，0)∪(0，)．

考查方向

本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用斜率的共线的坐标表示和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力本题考查了利用三角函数的函数单调区间和解三角形求面积

解题思路

本题考查直线与椭圆位置关系，解题步骤如下：

（1）设C（m，n），由向量共线的坐标表示，可得C的坐标，代入椭圆方程，可得a，b的关系，

再由离心率公式计算即可得到所求值；

（2）①由题意可得c=2，a=3， b2＝5，可得椭圆方程，设直线PQ的方程为y=k（x+3），代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得k，进而得到所求直线方程；

②设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程可得，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件，求得4m=5+9k2，再由中点在椭圆内，可得k的范围，再由直线l的方程可得D的横坐标的范围．

易错点

第二问容易计算错误

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.

25.求椭圆E的方程；

26.在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

由已知，点在椭圆E上.

因此，

解得.

所以椭圆的方程为.

考查方向

本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.

解题思路

根据椭圆的对称性，当直线与轴平行时，，将这个点的坐标代入椭圆的方程，得.再根据离心率得，又，三者联立，解方程组即可得，进而得椭圆的方程为.

易错点

不会转化题中给出的条件；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

存在，Q点的坐标为.

解析

当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点.

如果存在定点Q满足条件，则，即.[来源:Z。xx。k.Com]

所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为.

当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点.

则，

由，有，解得或.

所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为.

下面证明：对任意的直线，均有.

当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.

当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，A、B的坐标分别为.

联立得.

其判别式，

所以，.

因此.

易知，点B关于y轴对称的点的坐标为.

又，

所以，即三点共线.

所以.

故存在与P不同的定点，使得恒成立.

考查方向

本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.

解题思路

先利用与轴平行和垂直这两种特殊情况找出点Q的坐标为.接下来联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系证明：对任意的直线，均有.设，由图可看出，为了证明，只需证明，为此作点B关于y轴对称的点，这样将问题转化为证三点共线.

易错点

想不到先解决特色情况再证明一般情况。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知，抛物线上一点到抛物线焦点的距离为．

24.求和的值；

25.如图5所示，过作抛物线的两条弦和

（点、在第一象限），若，求证：直线经过一个定点．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1），；

解析

（Ⅰ）由点到抛物线焦点的距离为，结合抛物线的定义得，，即，

抛物线的方程为，把点的坐标代入，可解得；

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

1.先利用抛物线定义求出p,然后将点M的坐标带入求解即可；2.设出直线、的方程后分别与抛物线的方程联立消元导出韦达定理后将表示为方程，后利用韦达定理求解即可得到答案。

易错点

不会利用抛物线的定义转化题中的条件到抛物线焦点的距离为．不知道该如何表示，或运算出错，导致运算越算越乱。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）略

解析

（Ⅱ）：显然直线、的斜率都存在，

分别设、的方程为，

联立，得，

设，，，，

则，，同理，，

故

，

注意到点、在第一象限，，∴

故得，，∴，即直线恒经过点．

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

1.先利用抛物线定义求出p,然后将点M的坐标带入求解即可；2.设出直线、的方程后分别与抛物线的方程联立消元导出韦达定理后将表示为方程，后利用韦达定理求解即可得到答案。

易错点

1.不会利用抛物线的定义转化题中的条件到抛物线焦点的距离为．2.不知道该如何表示，或运算出错，导致运算越算越乱。

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知椭圆离心率为，点在短轴CD上，

且　.

23.求椭圆E的方程；

24.过点P的直线与椭圆E交于A,B两点.

（i）若，求直线的方程；

（ii）在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

考查方向

本题主要考查的是椭圆的标准方程。直线与椭圆的位置关系。解析几何存在性问题

解题思路

由题意，根据数量积求得方程中的待定的a,b.(2).按照解析几何的常规思路求解，

先讨论直线方程的斜率问题，然后联系方程组，求方程的再向已经条件转化；

易错点

解析几何易出现对于直线方程的分类讨论上的错，再就是直线与曲线联系以后，寻求变量之间的联系时，易出现转化和计算，代数整理上的错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：（1）当直线不存在斜率时，|PB|=, |AP|=, ，不符合题意，

考查方向

本题主要考查的是椭圆的标准方程。直线与椭圆的位置关系。解析几何存在性问题

解题思路

也是要讨论直线方程的斜率两种情况，假设存在，Q，使得恒成立，将数量关系转成坐标，进而转化成题中所设的直线方程的斜率K上,注意问题的充要性证明。

易错点

解析几何易出现对于直线方程的分类讨论上的错，再就是直线与曲线联系以后，寻求变量之间的联系时，易出现转化和计算，代数整理上的错误。

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

如图,已知椭圆：的上顶点为,离心率为.

22.求椭圆的方程；

23. 若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点(不同于点).当变化时,试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：由已知可得, ,

所求椭圆的方程为

考查方向

本题主要考查椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系,解析几何直线过定点问题

解题思路

列出a,b,c方程, 直接求椭圆的标准方程

易错点

解析几何易出现对于直线方程的分类讨论上的错误，其次就是直线与曲线联系以后，寻求变量之间的关系时，易出现转化、计算、代数整理的错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

直线过定点.

解析

解：设切线方程为，则，即，

设两切线的斜率为，则是上述方程的两根，所以

；

由得：，所以，

同理可得：，

所以，于是直线方程为

，令，得

，

故直线过定点. ----------------------------15分

考查方向

本题主要考查椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系,解析几何直线过定点问题

解题思路

首先根据直线与圆相切得出，再根据直线和椭圆相交，联立方程组，求出B,D的坐标及BD的斜率, 写出BD的方程,得出BD过定点。

易错点

解析几何易出现对于直线方程的分类讨论上的错误，其次就是直线与曲线联系以后，寻求变量之间的关系时，易出现转化、计算、代数整理的错误。

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