热门试卷

（1）设等差数列的公差为，

则，

又，则，故.  ……………………………………………6分

（2）由（1）可得，又，

即，化简得，

解得或（舍），所以的值为4.……………………………………12分

本题考查运用导数知识研究函数的图象与性质、函数的应用、不等式问题、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等.

（1）∵，，故，………………1分

令得；令得。 ………………3分

所以的单调递增区间为；单调递减区间为，………………4分

（2）由变形得：，……………5分

令函数，则在上单调递增，……………6分

即在上恒成立，……………7分

而（当且仅当时取“=”）

所以，………………9分

（3）证明：不妨设，由得：

其中，故上式的符号由因式“”的符号确定。

令，则函数。

，其中，得，故。即在上单调递减，且。所以。

从而有成立。

该不等式能更进一步推广：

已知，是互不相等的实数，若正实数满足，则。

下面用数学归纳法加以证明：

i）当时，由（2）证明可知上述不等式成立；

ii）假设当时，上述不等式成立，即有：。

则当时，由得：，于是有：

。

在该不等式的两边同时乘以正数可得：。

在此不等式的两边同时加上又可得：。

该不等式的左边再利用i）的结论可得：，整理即得：。

所以，当时，上述不等式仍然成立。

综上，对上述不等式都成立，………………14分

（1）证明：，则，设，则

当时，，即为增函数，所以，

即在时为增函数，所以

（2）解法一：由（1）知时，，，所以，

设，则，设，则当时，所以为增函数，所以，所以为增函数，所以，所以对任意的恒成立.

又，时，，所以时对任意的恒成立.

当时，设，则，

，所以存在实数，使得任意，均有，所以在为减函数，所以在时，所以时不符合题意。

综上，实数的取值范围为.

解法二：因为等价于

设，

则

可求，

所以当时，恒成立，在是增函数，

所以，即，即

所以时，对任意恒成立

当时，一定存在，满足在时，，所以在是减函数，

此时一定有，即，即，不符合题意，故不能满足题意，

综上所述，时，对任意恒成立