指数函数的图像变换
共416题

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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数在的最小值为，则实数的取值范围是（）

正确答案

解析

略

知识点

指数函数的图像变换

题型：单选题

单选题 · 5 分

若不等式组表示的平面区域是面积为的三角形，则的值为（）

正确答案

解析

略

知识点

指数函数的图像变换

题型：单选题

单选题 · 5 分

设函数f（x）的定义域为D,若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D）有x+l∈D，且f（x＋l）≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数，如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f（x）＝｜x－a2｜－a2，且f(x)为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是

A［一，］

B（－2，2）

C［－1，］

D（一，1]

正确答案

解析

当a＝0时，f(x)＝x，则f(x＋8)>f(x)，即f(x)为R上的8高调函数；当a≠0时，函数y＝f(x)的图象如图所示，若f(x)为R上的8高调函数，则3a2－(－a2)≤8，解得－≤a≤且a≠0.综上－≤a≤.

知识点

指数函数的图像变换

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数f (x) =x2， g(x) ＝2eln x(x>0) (e为自然对数的底数）。

（1）求F(x) =f(x)－g(x) (x>0)的单调区间及最小值；

（2）是否存在一次函数y=kx+b(k，bR)，使得f (x) ≥kx十b 且g (x)≤kx＋b对一切x >0恒成立？若存在，求出该一次函数的表达式；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1），

令F′(x)＝0，得，

∴当0＜x＜时，F′(x)＜0，F(x)在(0，)上单调递减；

当x＞时，F′(x)＞0，F(x)在(，＋∞)上单调递增。

∴当x＝时，F(x)有极小值，也是最小值，

即F(x)min＝F()＝e－2eln＝0.

∴F(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)，最小值为0.（7分）

（2）由（1）知，f(x)与g(x)的图象有且仅有一个公共点(，e)，

∴猜想：一次函数的图象就是f(x)与g(x)的图象在点(，e)处的公切线，

其方程为y＝2x－e.

下面证明：当x＞0时，f(x)≥2x－e，且g(x)≤2x－e恒成立。

∵f(x)－(2x－e)＝(x－)2≥0，∴f(x)≥2x－e对x＞0恒成立。

又令G(x)＝2x－e－g(x)＝2x－e－2eln x，∴G′(x)＝，

∴当0＜x＜时，G′(x)＜0，G(x)在(0，)上单调递减；

当x＞时，G′(x)＞0，G(x)在(，＋∞)上单调递增。

∴当x＝时，G(x)有极小值，也是最小值，

即G(x)min＝G()＝2e－e－2eln ＝0，∴G(x)≥0，即g(x)≤2x－e恒成立。

故存在一次函数y＝2x－e，使得当x＞0时，f(x)≥2x－e，且g(x)≤2x－e恒成立.（14分）

知识点

指数函数的图像变换

题型：简答题

简答题 · 7 分

已知，且。

（1）试利用基本不等式求的最小值；

（2）若实数满足，求证：。

正确答案

见解析

解析

本小题主要考查基本不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想。

（1）由三个数的均值不等式得：

（当且仅当即时取“=”号），故有，……4分

（2），由柯西不等式得：

（当且仅当即时取“=”号）

整理得：，即，………………7分

知识点

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